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函数连续的ε-δ定义 如对任意给定的正数ε＞0，总有实数δ＞0，当|x-x0|＜δ时，必有|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在x0点连续，记为
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3.数学的存在性定理
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前面提到过，贾岛《寻隐者不遇》诗云：
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松下问童子，言师采药去。
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只在此山中，云深不知处。
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这是只知其存在，但不知道确切位置的一种意境。在微积分学中，连续函数有两个重要的存在性定理。
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最值定理 在闭区间[a，b]上连续的函数必定在该区间上取到最大值和最小值。（至于在哪里取得，定理并没有给出。参见图5.3.4。）
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介值定理 在区间[a，b]上定义的连续函数，如果在[a，b]中存在两点p，q使得f（p）＜0且f（q）＞0，那么必定在p，q之间存在点c，使得f（c）=0。（至于c在哪里，定理并未回答。参见图5.3.5。）
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▲ 图5.3.4 函数的最大值点
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f（x）在[a，b]上连续，在点ξ处达到最大值。ξ具体在何处，尚无法断定。
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▲ 图5.3.5 函数的介值性
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这一函数在[-2，2]上连续，在-1处函数值小于0，在1处函数值大于0，所以可以判断必有一点函数值等于0，即函数图像和横坐标轴相交。至于具体是哪一点，目前还不能确定。
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这两个定理可以用实数理论严格证明，这里从略。
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数学文化教程 第四节 “无穷小量的鬼魂”——早期微积分学有效但不严谨
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牛顿之前，已经有许多数学家运用无穷小量研究函数性质。法国数学家费马等就运用无穷小量得出了令人惊奇的正确结论。可是无穷小量是什么？没有人解释得清楚。
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1.神奇的费马证明
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从古希腊到文艺复兴，大家都认为，周长一定的矩形以正方形围成的面积最大。这是一个完全正确的命题。但是，没有人能够证明它。法国数学家费马运用无穷小量加以论证。当时人们对无穷小量的认识是，它是任意小却不等于0的量。说白了，就是“既是0又不是0的量”。且看费马论证的过程。
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证明 如图5.4.1，设矩形的半周长是A，其中一条边的边长是B，则另一条边的边长是A-B。如果此时面积最大，要证明它是正方形，只需证明A=2B即可。现在任取无穷小量E，那么可以猜想（一个天才的想法）矩形的面积为
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B(A-B)=(B+E)[A-(B+E)].(5.4.1)