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描写物体位置变化的快慢和方向的物理量。物体的位移和时间之比，成为这段时间内的平均速度。如果这一时间极短（趋向于0），这一比值的极限就被称为物体在该时刻的速度，亦称“瞬时速度”。
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这就是说，速度就是瞬时速度。人是先有瞬时速度的直觉，再有微积分的解释。我们的任务是把它严格地描述出来，使得瞬时速度既可意会，也可言传。
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（2）把直觉的瞬时速度，化为可以言传的瞬时速度，需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。
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让我们再次重复古希腊哲学家芝诺和他的学生的对话：
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“一支射出的箭是动的还是不动的？”
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“那还用说，当然是动的。”
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“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
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“不动的，老师。”
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“这一瞬间是不动的，那么在其他瞬间呢？”
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“也是不动的，老师。”
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“所以，射出去的箭是不动的。”
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中国战国时代“名辩”思潮中的思想巨子惠施（约前370—约前310）提出“飞鸟之景，未尝动也”。这句话的意思是说天空中飞着的鸟实际上是不动的，和芝诺的观点如出一辙。
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孤立地仅就一个时刻而言，物体没有动。但是物体运动有其前因后果，即是由前后位置的比较反映出来的，有比较才会产生速度。于是，人们就很自然地先求出该时刻附近的平均速度，然后令时间间隔趋向于0，以平均速度的极限作为瞬时速度。这样，可以意会的直觉，终于能够言传。微积分教学把原始的思考显示出来，就会让学习者知道导数并非是天上掉下来的“林妹妹”。一点的附近、平均速度、极限，这一连串的思考，揭开了瞬时速度的神秘面纱。
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超越“飞矢不动”的诡辩，我们又一次欣赏到微分学考察“局部”性质的深刻与美妙。
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在西方广为流传的一本数学科普著作《为百万人的数学》（作者Lancelot Hogben）是这样叙述导数的：
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“如果在一条曲线上运动的两点p，q不断靠拢，使得很难区别两点是沿着原曲线还是沿着直线段pq彼此非常接近，这时，尽管p，q的坐标x有十分微小的差别，但在测速仪上的指针几乎是不动的。直线段pq的斜率，即测速仪上的读数。
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这样，就巧妙地利用测速仪的直观形象理解了导数概念。
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数学文化教程 第七节 局部与整体沟通的桥梁——导函数与微分中值定理
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如前所述，函数f（x）在点x=x0上的导数，记为f′（x），刻画了f（x）在该点的局部性质。如果f（x）在区间[a，b]上每一点都有导数，这就在[a，b]上形成了一个新的函数，称为f（x）的导函数，记做f′（x）。本节将要说明，f′（x）将起到把f（x）在各点上的局部性质与其整体性质联系起来的关键作用。
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首先介绍导函数的一些基本性质和一些初等函数的导函数。
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导函数的基本性质
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(1)(af (x)+bg (x))′ =af′(x)+bg′(x);
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(2)(f (x) g (x))′ =f′(x) g (x)+f (x) g′(x);
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