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孤立地仅就一个时刻而言，物体没有动。但是物体运动有其前因后果，即是由前后位置的比较反映出来的，有比较才会产生速度。于是，人们就很自然地先求出该时刻附近的平均速度，然后令时间间隔趋向于0，以平均速度的极限作为瞬时速度。这样，可以意会的直觉，终于能够言传。微积分教学把原始的思考显示出来，就会让学习者知道导数并非是天上掉下来的“林妹妹”。一点的附近、平均速度、极限，这一连串的思考，揭开了瞬时速度的神秘面纱。
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超越“飞矢不动”的诡辩，我们又一次欣赏到微分学考察“局部”性质的深刻与美妙。
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在西方广为流传的一本数学科普著作《为百万人的数学》（作者Lancelot Hogben）是这样叙述导数的：
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“如果在一条曲线上运动的两点p，q不断靠拢，使得很难区别两点是沿着原曲线还是沿着直线段pq彼此非常接近，这时，尽管p，q的坐标x有十分微小的差别，但在测速仪上的指针几乎是不动的。直线段pq的斜率，即测速仪上的读数。
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这样，就巧妙地利用测速仪的直观形象理解了导数概念。
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数学文化教程 第七节 局部与整体沟通的桥梁——导函数与微分中值定理
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如前所述，函数f（x）在点x=x0上的导数，记为f′（x），刻画了f（x）在该点的局部性质。如果f（x）在区间[a，b]上每一点都有导数，这就在[a，b]上形成了一个新的函数，称为f（x）的导函数，记做f′（x）。本节将要说明，f′（x）将起到把f（x）在各点上的局部性质与其整体性质联系起来的关键作用。
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首先介绍导函数的一些基本性质和一些初等函数的导函数。
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导函数的基本性质
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(1)(af (x)+bg (x))′ =af′(x)+bg′(x);
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(2)(f (x) g (x))′ =f′(x) g (x)+f (x) g′(x);
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（3）假设g（x）处处不为0，则；
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（4）假设f（u），g（x）都可导，且g（x）的取值都在f（u）的定义域中，则可定义复合函数f（g（x）），其导函数是，
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其中表示对f（u）关于自变量u的求导。
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上述性质都是从导数的定义推出，具体的推算步骤在此省略。利用这些基本性质，可以容易地计算许多函数的导函数，包括以下一些最基本的导数。
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导数简表：一些基本初等函数的导函数
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前已提及，利用导函数可以研究函数性质。在应用过程中需要借助微分中值定理。以下介绍最常见的拉格朗日微分中值定理。
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定理 设f（x）在[a，b]上点点都有导数，那么在（a，b）中存在一点ξ，使得
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f (b)-f (a)=f′(ξ)(b-a).
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这是非常深刻的结果。等式左边依赖于固定两点a，b，是整体性的，而右边是在一点ξ处的导数，乃是局部性质。由于我们把局部性质研究透了，整体性质就可以借助局部性质得到深化。