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两百多年后，南北朝时期数学家祖冲之（429—500，图5.8.3）改进了刘徽的方法，算得3.141 592 6＜圆周率＜3.141 592 7；并给出以分数形式表示的约率。祖冲之的具体计算方法已失传。但可以验证，只要继续运用刘徽的“割圆术”，直至算出正3×2[2]2边形的边长，就能达到祖冲之的计算精度。
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祖冲之的成就远远超出了当时世界数学的水平。他所给出的8位精度的圆周率，直到960年后，才被波斯数学家卡西（Jamshīd al-Kāshī，1380—1429）超越。后者计算了正3×228边形的边长，并由此得到17位精度的圆周率。祖冲之的密率与圆周率的误差小于0.000001！是分母在16604以内逼近圆周率的最佳分数，欧洲数学家在1100多年后才知道它。
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（2）阿基米德的弓形面积计算1
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如图5.8.4所示，古希腊数学家阿基米德证明了，抛物线弓形ACB的面积等于 ABC面积的倍。
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▲ 图5.8.1 刘徽
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▲ 图5.8.2 “割圆术”示意
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▲ 图5.8.3 祖冲之
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首先，他证明了弓形ACB可以被一连串的三角形所“穷尽”。这一连串三角形的作法如下（见图5.8.4）：从AC、BC的中点K、L各作抛物线对称轴的平行线，分别交抛物线于P、Q，得 APC和 BQC，填充于弓形与 ABC之间的空隙处。依同法，从AP、CP、CQ、BQ的各中点作抛物线对称轴的平行线，交抛物线于四点，而又可得四个三角形填充于所剩下的空隙。如此反复进行，就可以得到一连串的三角形。
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第二步要证明这些小三角形的面积和 ABC有着简单的关系。阿基米德证明了
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于是，如果设 ABC的面积为S0，则第一次填空隙的两个三角形面积和为。同理，第二次填空隙的四个三角形每个面积都等于第一次填空隙所用三角形（如 APC）的，所以总面积和为。如此类推，第n次填空隙的三角形面积和。所以
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阿基米德用的方法也是“分割”，即将弓形割成一些大小不等的三角形，用这些三角形面积之和加以近似，然后取极限得到精确值。其思想和刘徽的割圆法基本相同。至于计算方法，用到等比级数求和。在古代，那是一种很高级的理性思考和繁难的计算技巧。
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▲ 图5.8.4 抛物线弓形面积计算示意图
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东方和西方的两个伟大数学家走的是同一条道路：分割，作和，极限，获得结果。就数学思想方法而言，都是从“微小”的局部出发，加以累积，得出整体的结果。
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