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▲ 图5.8.7 y=x 2所围成的曲边梯形的面积
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在本例中，也可以从阿基米德计算的弓形面积出发得到结果。这时抛物弓形的内接三角形的三点坐标是（0，0），（1，1）。不难算出它的面积是。于是弓形面积是。这样一来，抛物线围成的曲边梯形的面积是，与用积分方法得到的结果相同。
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这一思想的核心仍然是以直代曲，用直边的小矩形取代小曲边梯形，然后小矩形面积之和取极限后即可求得曲边梯形的面积。这里的曲边，是指各点的局部有变化，而且每点的变化情况都不同。我们的方法是将各点的变化（微分）累积起来，运用极限方法，跨越无限门槛，最后获得整体的面积。
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这再次说明，所谓积分，乃将微分累积起来之意也。
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2.分成局部，积成整体——走近“定积分”
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将上述求曲边梯形的思想一般化，就得到定积分的定义。
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定义 设函数y=f（x）是在区间[a，b]上的连续函数[3]。将区间划分为
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a=x0 ＜x1＜…＜xn =b,
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任取ξi∈[xi-1，x，i ]，Δxi ≜xi-xi-1，i=1 2，，…，n，求和。若
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存在，则称之为f（x）在区间[a，b]上的定积分，记为，a，b分别称为定积分的下限和上限。
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显然，定积分的几何意义，就是求曲边梯形的面积。不过这里的f （x）dx可正可负。几何地看，面积有正负。例如可以出现图5.8.8中的情形。
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下面我们对定积分的定义及其符号做些说明。
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从形式上看，f （x）dx是微分dx和f （x）dx的乘积，我们称之为函数的微元。微元的几何意义是函数f （x）dx在x处的一个微分矩形。和式取极限，不妨看作是微元f （x）dx作和。极限值用符号f （x）dx表示，其中是将符号Σ展开拉直的结果，上下端表示积分的区间。这一符号为莱布尼茨创立，沿用至今。用微元观点看定积分，虽然不大严格，但是形神兼备，其中既有被积函数f （x）dx，积分变元dx，还有上下积分限，要件都齐了，简易而清晰。
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3.定积分作为平均值：再次认识局部与整体的辩证关系
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局部与整体不可分割，互为依托。面对一个区间段[a，b]上的函数f （x）dx。我们既看到了一个个的局部：f （x）dx，更看到函数的整体变化量。对一昼夜的某地温度而言，它是一个连续变化着的函数H（t），t∈[0，24]。如果问：“这一昼夜”的平均温度是多少？显然，这是一个整体概念，涉及这24小时的每一时刻的温度，一刻也不能少。这就是说，整体依赖每一个局部。
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反之，局部概念又依赖于整体的思考。让我们回想瞬时速度的定义。它是一个局部的概念。然而，它又被定义为小区间段内平均速度的极限。如上所说，平均速度是一个整体的概念。再小的区间段，里面也有连续变化着的无数个时刻。是一个“小的整体”。
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