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1701016464 局部与整体不可分割,互为依托。面对一个区间段[a,b]上的函数f (x)dx。我们既看到了一个个的局部:f (x)dx,更看到函数的整体变化量。对一昼夜的某地温度而言,它是一个连续变化着的函数H(t),t∈[0,24]。如果问:“这一昼夜”的平均温度是多少?显然,这是一个整体概念,涉及这24小时的每一时刻的温度,一刻也不能少。这就是说,整体依赖每一个局部。
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1701016466 反之,局部概念又依赖于整体的思考。让我们回想瞬时速度的定义。它是一个局部的概念。然而,它又被定义为小区间段内平均速度的极限。如上所说,平均速度是一个整体的概念。再小的区间段,里面也有连续变化着的无数个时刻。是一个“小的整体”。
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1701016471 ▼ 图5.8.8 曲边梯形面积的正负
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1701016473 这一段,我们考察定积分如何反映“平均值”这样的整体性质。
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1701016475 我们习惯的平均数是有限个值的平均。有限个数a1,a2,…,an的平均值是指
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1701016480 那么,连续函数表示的无限多个值的平均数怎样定义呢?例如,根据连续测温仪,测得某地时间间隔[a,b]中每一时刻t的温度为f(t)。那么,该地的平均温度应该是多少呢?
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1701016483 首先想到,将一天分成n份,在分点处,即时刻(i=0,1,2,···,n)
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1701016488 时,温度为h (t)。把平均值作为一天的平均温度,其中表示时刻ti的温度h(ti),保持了天。
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1701016492 让我们看定积分。它是积分和的极限。如果将闭区间[0,1]作n等份,插入的分点是0=x0<x1<…<xn=1,那么xi-xi-1都h等(ti于)。这时和式
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1701016498 就是n个函数值f (xi )(i=1,2,···,n)的平均值。现在令n→∞,就相当于f(x)在[0,1]上的平均值,而这正是积分。
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1701016500 这样一来,定积分和平均温度就联系在一起了。
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1701016502 一般地,考察f(x)在区间[a,b]上的平均值,它当然就可以定义为
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1701016507 辩证地看,局部是整体细分后“小整体”量的极限。反映全部变化的“大整体”,则是局部变化累积的结果。
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1701016509 微积分的魅力,就在于这种深刻的思考,成为人类理性思维的典范。
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1701016511 4.积分的基本性质
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1701016513 (1)积分对被积函数的可加性。对任何常数α,β,
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