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从计算中不难看出，在进行矩阵与向量的乘法时，矩阵的列数必须与向量的维数相同，而积向量的维数恰与矩阵的行数相同。
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在（2）式中，价格向量被写成有序的一列数，其实际意义与写成一行数相同，只是为便于实施数学运算而已。n维向量（a1 a2 …an ）可看作是
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1×n矩阵；而可看作是n×1矩阵。
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作为经营单位，超市是需要计算利润的。如果上述五种商品的单位利润如下：
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那么，利润额的计算方法与营业额的计算方法一样，只需求出顾客购货的数量矩阵A与单位利润向量c=（0.2，0.1，0.3，0.05，0.4）的乘积：
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（3）式右边列向量中的元素分别表示每笔生意的利润额。
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如果超市要在计算每笔生意的营业额同时，一并计算其利润额，那么就应该进行如下的矩阵乘法：
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仔细观察，可见（4）式的左边的第一个矩阵是购货的数量矩阵，第二个矩阵是单价向量和利润向量构成的矩阵，它们的乘积得到右边的矩阵，这个矩阵的第一列是每笔生意的营业额，第二列是每笔生意的利润额。这就是矩阵与矩阵的乘积。同理，如果该超市还要计算每笔生意所产生的其他指标额（如成本、损耗等），也可类似地同时进行。
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数学文化教程 第四节 非线性数学 蝴蝶效应
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所谓“线性数学”，是指研究的数学对象都是线性的代数表示式，例如线性函数、线性方程等。线性，是直线性的简称，具有鲜明的几何意义。由于直线的方程是一次代数式，即是一次函数的图像；所以，线性数学研究的对象，都是一次的代数式。
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中小学课堂上所讲授的数学，多半是线性的，如一次函数、一次方程、直线、平面、向量表示、线性方程组，等等。非线性的高次数学内容，仅限于二次。如二次函数、二次方程、二次曲线，等等。相对来说，线性数学的内容要比非线性数学内容要简单得多。就以一次方程和二次方程来说，二次方程要复杂得多。诸如：二次方程有两个根，实根或虚根要用判别式来确定，根和系数有韦达定理联系着等论断，都是很深刻的结果。二次方程已经很复杂，三次以上的方程、函数、曲线就更复杂了，所以现在的中学数学里基本不涉及。
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因此，非线性数学要比线性数学复杂得多，乃是意料中事。
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我们先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Edward N.Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他在1963年的一次试验中，用计算机求解仿真地球大气运动的13个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506 127再送回计算。而当他到咖啡馆喝了杯咖啡以后回来再看时却大吃一惊：本来只是0.000 127这样很小的差异，结果却偏离了十万八千里！再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹发现，由于误差会以指数级增长，所以在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移将会造成截然不同的后果。这个发现非同小可，以致科学家都不理解，认为“违背常理”，几家科学杂志也都拒登他的文章。事实上，我们一向认为：相近的数据代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！可是洛伦兹发现的是事实。1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，成为大家耳熟能详的普通名词了。
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经过仔细分析，原来洛伦兹研究的大气运动方程不是线性方程，而是非线性的。非线性的复杂性再一次呈现在我们面前。所谓线性，是指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表按比例、有稳定规律的、光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
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“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。这似乎有点不可思议，但是确实能够造成这样的后果。一个明智的领导人一定要防微杜渐，一些看似极微小的事情很有可能造成集团的分崩离析，造成整体的巨大损失。战场如此，一切事业都需要关注局部的微小变化，不可掉以轻心。
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以下我们指出一次函数和二次函数在迭代过程中的明显差异。
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先看一次函数y=kx（这里的线性函数都是齐次的，即没有常数项）。
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假定k≠0，1，那么，它只有唯一的不动点[1]0：f（0）=0。现在任取x=x0，代入方程得y0=kx0。令x1=y0，代入y1=kx1；令x2=y1……这样不断地迭代，我们得到一个数列
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