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1701017620 从计算中不难看出,在进行矩阵与向量的乘法时,矩阵的列数必须与向量的维数相同,而积向量的维数恰与矩阵的行数相同。
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1701017622 在(2)式中,价格向量被写成有序的一列数,其实际意义与写成一行数相同,只是为便于实施数学运算而已。n维向量(a1 a2 …an )可看作是
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1701017625 1×n矩阵;而可看作是n×1矩阵。
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1701017627 作为经营单位,超市是需要计算利润的。如果上述五种商品的单位利润如下:
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1701017632 那么,利润额的计算方法与营业额的计算方法一样,只需求出顾客购货的数量矩阵A与单位利润向量c=(0.2,0.1,0.3,0.05,0.4)的乘积:
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1701017637 (3)式右边列向量中的元素分别表示每笔生意的利润额。
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1701017639 如果超市要在计算每笔生意的营业额同时,一并计算其利润额,那么就应该进行如下的矩阵乘法:
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1701017644 仔细观察,可见(4)式的左边的第一个矩阵是购货的数量矩阵,第二个矩阵是单价向量和利润向量构成的矩阵,它们的乘积得到右边的矩阵,这个矩阵的第一列是每笔生意的营业额,第二列是每笔生意的利润额。这就是矩阵与矩阵的乘积。同理,如果该超市还要计算每笔生意所产生的其他指标额(如成本、损耗等),也可类似地同时进行。
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1701017650 数学文化教程 第四节 非线性数学 蝴蝶效应
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1701017652 所谓“线性数学”,是指研究的数学对象都是线性的代数表示式,例如线性函数、线性方程等。线性,是直线性的简称,具有鲜明的几何意义。由于直线的方程是一次代数式,即是一次函数的图像;所以,线性数学研究的对象,都是一次的代数式。
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1701017654 中小学课堂上所讲授的数学,多半是线性的,如一次函数、一次方程、直线、平面、向量表示、线性方程组,等等。非线性的高次数学内容,仅限于二次。如二次函数、二次方程、二次曲线,等等。相对来说,线性数学的内容要比非线性数学内容要简单得多。就以一次方程和二次方程来说,二次方程要复杂得多。诸如:二次方程有两个根,实根或虚根要用判别式来确定,根和系数有韦达定理联系着等论断,都是很深刻的结果。二次方程已经很复杂,三次以上的方程、函数、曲线就更复杂了,所以现在的中学数学里基本不涉及。
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1701017656 因此,非线性数学要比线性数学复杂得多,乃是意料中事。
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1701017658 我们先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹(Edward N.Lorenz)的发现谈起。为了预报天气,他在1963年的一次试验中,用计算机求解仿真地球大气运动的13个方程式。为了更细致地考察结果,他把一个中间解0.506取出,提高精度到0.506 127再送回计算。而当他到咖啡馆喝了杯咖啡以后回来再看时却大吃一惊:本来只是0.000 127这样很小的差异,结果却偏离了十万八千里!再次验算发现计算机并没有毛病,洛伦兹发现,由于误差会以指数级增长,所以在这种情况下,一个微小的误差随着不断推移将会造成截然不同的后果。这个发现非同小可,以致科学家都不理解,认为“违背常理”,几家科学杂志也都拒登他的文章。事实上,我们一向认为:相近的数据代入确定的方程,结果也应相近才对,怎么能大大远离呢!可是洛伦兹发现的是事实。1979年12月,洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出:一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后,所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走,成为大家耳熟能详的普通名词了。
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1701017660 经过仔细分析,原来洛伦兹研究的大气运动方程不是线性方程,而是非线性的。非线性的复杂性再一次呈现在我们面前。所谓线性,是指量与量之间按比例、成直线的关系,在空间和时间上代表按比例、有稳定规律的、光滑的运动;而非线性则指不按比例、不成直线的关系,代表不规则的运动和突变。
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1701017662 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省,不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩,更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中,初始条件的十分微小的变化经过不断放大,对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说:丢失一个钉子,坏了一只蹄铁;坏了一只蹄铁,折了一匹战马;折了一匹战马,伤了一位骑士;伤了一位骑士,输了一场战斗;输了一场战斗,亡了一个帝国。马蹄铁上一个钉子是否会丢失,本是初始条件的十分微小的变化,但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。这似乎有点不可思议,但是确实能够造成这样的后果。一个明智的领导人一定要防微杜渐,一些看似极微小的事情很有可能造成集团的分崩离析,造成整体的巨大损失。战场如此,一切事业都需要关注局部的微小变化,不可掉以轻心。
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1701017664 以下我们指出一次函数和二次函数在迭代过程中的明显差异。
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1701017666 先看一次函数y=kx(这里的线性函数都是齐次的,即没有常数项)。
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1701017668 假定k≠0,1,那么,它只有唯一的不动点[1]0:f(0)=0。现在任取x=x0,代入方程得y0=kx0。令x1=y0,代入y1=kx1;令x2=y1……这样不断地迭代,我们得到一个数列
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