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经过仔细分析，原来洛伦兹研究的大气运动方程不是线性方程，而是非线性的。非线性的复杂性再一次呈现在我们面前。所谓线性，是指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表按比例、有稳定规律的、光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
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“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。这似乎有点不可思议，但是确实能够造成这样的后果。一个明智的领导人一定要防微杜渐，一些看似极微小的事情很有可能造成集团的分崩离析，造成整体的巨大损失。战场如此，一切事业都需要关注局部的微小变化，不可掉以轻心。
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以下我们指出一次函数和二次函数在迭代过程中的明显差异。
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先看一次函数y=kx（这里的线性函数都是齐次的，即没有常数项）。
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假定k≠0，1，那么，它只有唯一的不动点[1]0：f（0）=0。现在任取x=x0，代入方程得y0=kx0。令x1=y0，代入y1=kx1；令x2=y1……这样不断地迭代，我们得到一个数列
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x0,x1,x2,…xn,…,
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其值为
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kx0,k2x0,k3x0,…,kn+1x0,…,
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当k＜1，数列趋向于不动点0；当k＞1，数列趋向于无穷大，远离不动点0。专有的术语是：k＜1时，不动点0是吸引子，即将任何由x0生成的数列都吸引过来；当k＞1时，不动点0是排斥子，即将任何由x0生成的数列都排斥开去，远离不动点。
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对于线性函数，这是很稳定的现象。但是对于非线性函数，情况就复杂得多。
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图7.4.1是[0，1]上的二次函数y=ax（1-x）当a=0.8，2.5，3.2的三种情形。注意函数y=x的图形（直线）相对于抛物线的不同位置。直线y=x和抛物线的两个交点处的横坐标0，1-1/a是不动点。
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我们现在考察迭代序列：
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Xn-1=axn(1-xn),n=0,1,2,3,···.
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▲ 图7.4.1 二次函数y=ax（1-x）当a=0.8，2.5，3.2的三种情形
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当a=0.8时，只有一个不动点0；此时无论x0怎样选取，所生成的迭代数列{xn}都趋向0，即0是吸引子。
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当a=2.5时，不动点为0和1-1/a；此时生成的{xn}都趋向于1-1/a；即1-1/a是吸引子，而0是排斥子。
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当a=3.2时，情况发生变化（图7.4.2）；不动点依然是0和1-1/a，但生成的迭代序列{xn}不趋于任何不动点，而是逐渐地生成两个周期点，来回跳动。这一性态是出乎人们意外的。
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▲ 图7.4.2 当a=3.2时，迭代序列{xn}不趋于任何不动点，而是在两个周期点之间来回跳动
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进一步研究表明：当a=3.449 489 743时，周期点变为4个；a=3.544 090 359时，周期点有8个；a增加到3.569 616 10时，周期点增为64个；继续增加到a=3.569 945 972时，迭代序列{xn}变得毫无规律，好像随机地出现在[0，1]之内，此时系统处于无规律的混沌状态。
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这些让人眼花缭乱的非线性特征，预示着非线性数学具有变异性和不稳定性。一个完全决定性的二次函数形成的抛物线映射，竟然可以得到随机出现的数值序列！其内在的数学意蕴之深刻，超出了人们的想象。仅此一斑，当知非线性数学的博大精深了。
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