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▲ 图7.5.4 谢尔宾斯基地毯
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▲ 图7.5.5 谢尔宾斯基海绵
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7.5.3 分形的维数
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让我们先来看看几何对象的维数是如何定义的。
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维数与测量有密切关系。测量一个几何图形时要用一个与图形的维数d相一致的“单位”l n（n=d）去测，才会有确定的结果。例如，量体积要用立方体l3为单位，量面积要用正方形l2为单位，量长度要用线段l为单位，等等。如果“单位”的维数n与几何图形的维数d不相等的话，那么n＜d时结果为无穷大，n＞d时结果为零。也就是说，当n≠d时，这个“单位”不能用来测量几何图形。
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事实上，几何与尺度是密切相关的。首先，让我们来观察长度和维数与尺度的关系。下面我们给出自相似维数的定义。
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定义 若A∈R n总可以逐级分成N个同样大小的与原集合相似的子集，每次的缩小因子为，则称
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为A的自相似维数。
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通俗地说，把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的m分之一，那么这个图形的维数就是。现在我们用这个定义进行一些简单的计算。
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（1）康托尔三分集的维数 把[0，1]中的康托尔三分集分成两部分：[0，1/3]，[2/3，1]；其中每一部分是原来的三分之一，所以有N=2，m=3。按照公式计算出来的维数是。
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（2）科赫曲线的维数 从构造科赫曲线的方法出发，可以把它分成四个部分，其中每一部分都是原来的三分之一大，所以N=4，m=3，那么科赫曲线的维数就是。
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（3）谢尔宾斯基地毯的维数 这一图形的维数是。要注意的是，在这里虽然每一个小正方形的面积是原来的九分之一，但是维数的定义是看“线性”尺度，即限于比较“边长”的缩放程度。我们看到，“边长”只缩小了三分之一，所以m=3。如果我们穿过正方形的中心用一条水平的直线来截这块地毯，就可以发现截出来的“断面”正好是康托尔三分集。
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7.5.4 分形是非线性数学的一部分
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按照自相似性特点研究像科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵那样的分形结构，这只是分形几何的第一步。分形和动力系统结缘，使得分形成为非线性数学的一部分。事实上，有一类分形集就直接来源于复平面上非线性的解析映射的迭代。
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早在1918—1919年，法图（Pierre Joseph Louis Fatou，1878—1929）和茹利亚（Gaston Maurice Julia，1893—1978）发现，通过一个非线性映射的迭代，可以把复平面划分成两部分，一部分后被称为法图集，另一部分被称为茹利亚集（J集）。他们在没有电子计算机帮助的情况下，凭借深邃的洞察力，察觉出许多迭代复数列的行为。随后的50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着电子计算机的出现，这一研究课题重获生机。
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1980年，曼德勃罗用计算机绘出用他名字命名的曼德勃罗集（M集）的第一张图来。曼德勃罗集可以用以下的复二次多项式生成：
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fc (z)=z2+c,
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其中c是一个复参数。对于每一个c，从z=0开始用fc（z）进行迭代。得到复数数列（0，fc （0），fc （fc （0）），fc （fc （fc （0））），…）。这个数列或者发散到无限大，或者是有界的数列。所谓曼德勃罗集，就是使以上序列为有界数列的那些复数c所成的集合。这些c点的集合在图7.5.6中就是黑色的部分。
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