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4.溯源于《易经》中的八卦
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我们在日常生活中通常使用十进制数，即用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字符号，按从右到左“逢十进一”的排位原则，来表示任意的整数。比如说，1234这个十进制数，实际上表示的数是4+3×10+2×102+1×103。十进制数的四则运算是小学数学的主要内容。人类所以采取十进制数可能与其在文明初期习惯用十个手指数数有关。
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二进制数则只使用0，1这两个数字符号，按从右到左“逢二进一”的排位原则，来表示任意的整数。比如说
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(11101)2=1+0×21+1×22+1×23+1×24 =(29)10
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（我们用括号加相应的下标来表明它是采用何种进制的数）。
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二进制数的优点之一是使用符号少，因此适合计算机处理和通信网络传输；优点之二是四则运算十分简单，比如说其乘法只有四条法则：
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0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,
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（想一想小学生要花多少工夫才能背熟十进制乘法运算的九九表？）其缺点是数位太长，一个三位十进制数相等于一个十几位的二进制数。
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从数学的角度来看，十进制数与二进制数是等价的。
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二进制数的有关历史 《易经》是我国最古老的一部历史文献，其起源可以追溯到大约5 000年前文字初创时期，传说中的伏羲“仰观天象，俯察地理”，发现了万事万物阴阳相生和相克的道理，而作八卦；其正式形成则是在3 000多年前的周代，所以又称为《周易》。《易经》是一部卜筮之书，其中包含了上古时期中国社会和思想的丰富资料，对中国文化的影响极其深远。《周易》的卜筮方法是用“爻”，一个爻有两种形态：“阳”（用一长横划表示）和“阴”（用两短横划表示），三个爻放在一起，组成一个“卦”，因此总共有23=8种卦（图9.4.3）。
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这八种卦再两两重叠，组成了六十四卦。卜筮者就可以用这六十四卦来解释万事万物，预测祸福吉凶。如果把阳爻当成“1”，把阴爻当成“0”，我们看到八卦可与3位二进制数对应，而六十四卦则对应于6位二进制数。因此，很多人认为，中国早已发明二进制数。当然，这种说法并不准确。由阴爻和阳爻组成的八卦是一套符号系统，被古人用来表示事物万象和原因。由0和1组成的二进制数现在也被用来表示各种信息。在这一点上，两者有类同之处。但二进制数是真正的数，可以对它进行各种严格和精确的数学运算，而八卦从来不是数，没有类似的数学性质，所以两者还是根本不同的。
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▲ 图9.4.3 《易经》中的阳爻、阴爻和八卦
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微积分发明者之一、德国数学家莱布尼茨在1679年写了一篇题名《二进位数学》的文章，其中首次给出了关于二进制数及其运算的较完整描述，说明由0和1的排列形成的二进制数可以像十进制数那样表示任何整数。该文被认为是现代二进制数的肇始。莱布尼茨后来从到过中国的欧洲传教士那里了解到周易八卦，对其与二进制数之间的相似性惊叹不已。他花了许多精力，企图发现《圣经》中上帝“七天创造世界”与八卦之间有何联系，希望以此来证明西方宗教和东方文化乃一脉相承。当然这已经是属于神学问题而不是科学问题了。
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1956年，仙农被聘为麻省理工学院的教授，但仍在贝尔实验室兼职。他除了继续研究通信理论外，还研究人工智能，并取得一些成果：比如说，他制作了一个神奇的电子鼠，它能够自己学会如何从迷宫中走出来；他还设计了一个计算机下棋程序，被认为是该领域的一项突破性工作。
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1972年，仙农从长期工作的贝尔实验室退休；1978年，又从MIT退休。他的妻子原来是贝尔实验室的数据分析员，两人于1949年结婚，他们生有3个儿子和1个女儿。2001年，他因患阿兹海默症而辞世。
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因为创立了信息论，仙农被誉为“20世纪最伟大的科学家之一”。他获得了无数的奖项，其中包括1966年获美国国家科学奖章和1978年获日本京都奖，他同时是多家著名学术团体的会员。
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数学文化教程 第五节 维纳与他的控制论
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在仙农创立信息论的同一年，1948年，维纳创立了控制论。与此同时，冯·诺依曼提出的数字计算机方案问世。世界进入了信息时代，他们都是数学家。
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1.人类的梦想
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机械自动化一直是人类的追求和梦想。传说中国古代西周时期，曾有一名叫偃师的巧匠为周穆王做了一个会歌舞和献媚的机械人；史载春秋时期，中国木匠鼻祖鲁班（约前507—前444）曾经制作了能连飞三天的木头鸟、会拉车的木头马和能干活的木头人；《三国演义》中，诸葛亮（181—234）发明能运送粮草的木牛流马的故事让人津津乐道。在国外，据说公元前2世纪的古希腊人已造出了会开门和唱歌的机器人。当然，这些历史记载和传说极有可能只是古人将想象与现实混淆的产物。事实上，直到20世纪50年代，人类才开始真正掌握了机械自动化理论和技术，从而有能力逐渐地把人类自古以来的梦想化为现实。经过了半个多世纪的发展，如今工厂里自动化生产流水线已司空见惯，无人驾驶的汽车、轮船和飞机也很平常。机械自动化的最高境界当然是制造能和人一样思考和行动的机器人。在这一方面同样取得了长足的进展。
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1997年，由美国国际商用机器公司（IBM）制造的电子计算机“深蓝”，以总分3：2击败当时的国际象棋世界冠军、俄罗斯人卡斯帕罗夫（Gary Kasparov，1963—），成为该年的世界重大新闻（图9.5.1）。这标志着人造机器已经在一个曾经作为人类智慧象征的思维领域，超过了人类本身。与此同时，据统计全世界已经有大约70多万个怀有不同绝技的机器人，它们主要分布在工业和军事部门，代替人类从事着各种危险、繁重和复杂的工作。
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