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二进制数的优点之一是使用符号少，因此适合计算机处理和通信网络传输；优点之二是四则运算十分简单，比如说其乘法只有四条法则：
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0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,
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（想一想小学生要花多少工夫才能背熟十进制乘法运算的九九表？）其缺点是数位太长，一个三位十进制数相等于一个十几位的二进制数。
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从数学的角度来看，十进制数与二进制数是等价的。
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二进制数的有关历史 《易经》是我国最古老的一部历史文献，其起源可以追溯到大约5 000年前文字初创时期，传说中的伏羲“仰观天象，俯察地理”，发现了万事万物阴阳相生和相克的道理，而作八卦；其正式形成则是在3 000多年前的周代，所以又称为《周易》。《易经》是一部卜筮之书，其中包含了上古时期中国社会和思想的丰富资料，对中国文化的影响极其深远。《周易》的卜筮方法是用“爻”，一个爻有两种形态：“阳”（用一长横划表示）和“阴”（用两短横划表示），三个爻放在一起，组成一个“卦”，因此总共有23=8种卦（图9.4.3）。
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这八种卦再两两重叠，组成了六十四卦。卜筮者就可以用这六十四卦来解释万事万物，预测祸福吉凶。如果把阳爻当成“1”，把阴爻当成“0”，我们看到八卦可与3位二进制数对应，而六十四卦则对应于6位二进制数。因此，很多人认为，中国早已发明二进制数。当然，这种说法并不准确。由阴爻和阳爻组成的八卦是一套符号系统，被古人用来表示事物万象和原因。由0和1组成的二进制数现在也被用来表示各种信息。在这一点上，两者有类同之处。但二进制数是真正的数，可以对它进行各种严格和精确的数学运算，而八卦从来不是数，没有类似的数学性质，所以两者还是根本不同的。
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▲ 图9.4.3 《易经》中的阳爻、阴爻和八卦
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微积分发明者之一、德国数学家莱布尼茨在1679年写了一篇题名《二进位数学》的文章，其中首次给出了关于二进制数及其运算的较完整描述，说明由0和1的排列形成的二进制数可以像十进制数那样表示任何整数。该文被认为是现代二进制数的肇始。莱布尼茨后来从到过中国的欧洲传教士那里了解到周易八卦，对其与二进制数之间的相似性惊叹不已。他花了许多精力，企图发现《圣经》中上帝“七天创造世界”与八卦之间有何联系，希望以此来证明西方宗教和东方文化乃一脉相承。当然这已经是属于神学问题而不是科学问题了。
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1956年，仙农被聘为麻省理工学院的教授，但仍在贝尔实验室兼职。他除了继续研究通信理论外，还研究人工智能，并取得一些成果：比如说，他制作了一个神奇的电子鼠，它能够自己学会如何从迷宫中走出来；他还设计了一个计算机下棋程序，被认为是该领域的一项突破性工作。
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1972年，仙农从长期工作的贝尔实验室退休；1978年，又从MIT退休。他的妻子原来是贝尔实验室的数据分析员，两人于1949年结婚，他们生有3个儿子和1个女儿。2001年，他因患阿兹海默症而辞世。
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因为创立了信息论，仙农被誉为“20世纪最伟大的科学家之一”。他获得了无数的奖项，其中包括1966年获美国国家科学奖章和1978年获日本京都奖，他同时是多家著名学术团体的会员。
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数学文化教程 第五节 维纳与他的控制论
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在仙农创立信息论的同一年，1948年，维纳创立了控制论。与此同时，冯·诺依曼提出的数字计算机方案问世。世界进入了信息时代，他们都是数学家。
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1.人类的梦想
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机械自动化一直是人类的追求和梦想。传说中国古代西周时期，曾有一名叫偃师的巧匠为周穆王做了一个会歌舞和献媚的机械人；史载春秋时期，中国木匠鼻祖鲁班（约前507—前444）曾经制作了能连飞三天的木头鸟、会拉车的木头马和能干活的木头人；《三国演义》中，诸葛亮（181—234）发明能运送粮草的木牛流马的故事让人津津乐道。在国外，据说公元前2世纪的古希腊人已造出了会开门和唱歌的机器人。当然，这些历史记载和传说极有可能只是古人将想象与现实混淆的产物。事实上，直到20世纪50年代，人类才开始真正掌握了机械自动化理论和技术，从而有能力逐渐地把人类自古以来的梦想化为现实。经过了半个多世纪的发展，如今工厂里自动化生产流水线已司空见惯，无人驾驶的汽车、轮船和飞机也很平常。机械自动化的最高境界当然是制造能和人一样思考和行动的机器人。在这一方面同样取得了长足的进展。
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1997年，由美国国际商用机器公司（IBM）制造的电子计算机“深蓝”，以总分3：2击败当时的国际象棋世界冠军、俄罗斯人卡斯帕罗夫（Gary Kasparov，1963—），成为该年的世界重大新闻（图9.5.1）。这标志着人造机器已经在一个曾经作为人类智慧象征的思维领域，超过了人类本身。与此同时，据统计全世界已经有大约70多万个怀有不同绝技的机器人，它们主要分布在工业和军事部门，代替人类从事着各种危险、繁重和复杂的工作。
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人类究竟凭什么，竟能够制造出会像自己一样思考、行动和工作的机器？这要归功于一门博大精深的现代应用数学理论，那就是“控制论”（Cybernetics），它揭示了人和动物的行为奥秘，并奠定了机械自动化的理论和技术基础。
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2.维纳从捡铅笔得到启示
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1948年，美国数学家维纳（Norbert Wiener，1894—1964，图9.5.2）发表了他的划时代著作《控制论：关于在动物和机器中控制和通信的科学》，标志着控制论这门学科的正式诞生。其中“控制论”这一词的英文名称Cybernetics，系维纳借用了希腊文单词Kυβερνήτης（原意是指“舵手”和“管理”等）而自造，以表明这是一门崭新的学科。
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维纳这部著作的内容极其广泛，以致看上去有点像在东拉西扯，却真实记录了控制论的思想是如何在实践中产生并发展起来的。书中不仅使用了群论、微分方程、数值计算、统计学、随机过程和信息论等数学工具，还涉及电子科学技术、通信论、计算机科学、生物学、医学生理学、社会学和哲学等学科知识。但始终围绕着一个核心概念，那就是——“反馈”（feedback）。维纳举了一个捡铅笔的例子。假定一个人要弯腰去捡地上的一支铅笔。为实现这一意图，他不需要、也不可能有意识地让身上每块肌肉有条不紊地进行必要的伸缩运动，以完成捡铅笔的动作。
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