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▲ 图9.8.1 中国古代的“洛书”及其对应的数字表示图
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▲ 图9.8.2 一个4×4的拉丁方
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组合数学的研究主要使用归纳法和递归运算法等方法，并不需要太多的分析、微分几何和抽象代数等现代数学核心工具：这些工具一般只适用于处理连续对象而不太适用于离散对象。因此，组合数学的入门较容易。然而，在这门学科中，存在着许多足以难倒最富有才智数学家的有趣的难题。如与“柯克曼女生问题”密切相关的斯坦纳三元系其实是拉丁方概念的一种推广，其中就含有一些曾经长期未能解决的问题。
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2.“柯克曼女生问题”引出斯坦纳三元系和柯克曼三元系
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曾主持筹建华东师范大学数学系和江西大学数学系的中国数学家孙泽瀛（1911—1981），在20世纪50年代初写过一部甚有影响的数学科普著作《数学方法趣引》（图9.8.3），其中介绍了哥尼斯堡七桥、哈密顿周游世界、四色地图、幻方等八个有名的数学问题，而他最后介绍的就是“柯克曼女生问题”。书中写道：
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某地一个学校内，有收容15个女生的宿舍一所。为了健康的目的，三人一组地分为五组，作郊外散步的计划。如果每组的人，每天全是同样的人，当然感觉到乏味，而且同学之间的友谊，也不能发展。因此规定在每一周，任何人都有与其他同学一度同组之机会。究竟应当怎样分配学生，才合乎这个理想？这实在是一个使舍监煞费思考的问题。也就是所谓的寇克满的女生问题。
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这一问题是英国数学家柯克曼（Thomas Penyngton Kirkman，1806—1895）在1850年提出的。用数学语言把该问题抽象化，就有如下的叙述。
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◀ 图9.8.3 《数学方法趣引》封面
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给定一个含有v=15个元素的集合S，要求设计一个由S的若干个k=3元子集（称为“区组”（block））构成的子集族B，使其满足：
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（1）S的每个元素恰在r=7个区组中；
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（2）S的每个二元子集恰在λ=1个区组中；
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（3）B中所有的区组恰可以形成S的b=7个划分。
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满足以上条件（1）和（2）的组合设计，被称为“斯坦纳三元系”（Steiner triple system），记为B[3；1；15]。一般地可以有B[k；λ；v]，称为“斯坦纳系”，其正式名称叫做“平衡不完全区组设计”。注意，条件（1）中的r=7可由参数k，λ，v推出。斯坦纳（Jakob Steiner，1796—1863）是瑞士数学家。
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如果不仅满足条件（1）和（2），还满足条件（3），该组合设计就被称为“柯克曼三元系”（Kirkman triple system），记为RB[3；1；15]。一般地可以有RB[k；λ；v]，称为“柯克曼系”，其正式名称叫做“可解平衡不完全区组设计”。注意，条件（3）中的b=7也可由参数k，λ，v推出。
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研究斯坦纳三元系和柯克曼三元系的主要任务，是要确定使B[3；1；v]和RB[3；1；v]存在的所有的v，并要了解那些存在解的种种性质。“柯克曼女生问题”就是RB[3；1；15]，已经知道它的解是存在的。孙泽瀛在书中给出了两组答案。
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答案一（用0-14编号来表示15位女生）
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周日 014；21314；3511；6710；89 12周一 028；17 14；31012；41113；5 6 9周二 0314；18 10；2911；4612；57 13周三 079；11213；26 3；458；101114周四 0510；16 11；2712；3813；4914周五 06 13；13 9；2410；51214；7 8 11周六 01112；12 5；347；684；9 1013
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答案二
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周日 014；29 11；31012；5713；68 14周一 028；112 13；347；569；10 11 14周二 0314；12 5；4612；7811；91013周三 0510；16 11；2712；3813；4 9 14周四 0613；17 14；2410；3511；8912周五 079；18 10；236；41113；51214周六 01112；213 14；458；13 9；6 7 10
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斯坦纳三元系存在的充要条件已经得到，那就是
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v＞1且v≡1，3 mod 6。