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以共同基金为例。在判断基金的收益率时，我们都会小心谨慎，唯恐有一丝一毫的错误。年均增长率发生1%的变化，甚至就可以决定该基金到底是有价值的金融资产还是疲软产品。晨星公司大盘混合型基金的投资对象是可以大致决定标准普尔500指数走势的大公司，似乎都是有价值的金融资产。这类基金1995~2004年增长了178.4%，年均增长率为10.8%，这是一个令人满意的增长速度[4]。如果手头有钱，投资这类基金的前景似乎不错，不是吗？
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事实并非如此。博学资本管理公司于2006年完成的一项研究，对上述数字进行了更加冷静、客观的分析。我们回过头来，看看晨星公司是如何得到这些数字的。2004年，他们把所有的基金都归为大盘混合型，然后分析过去10年间这些基金的增长情况。
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但是，当时还不存在的基金并没有被统计进去。共同基金不会一直存在，有的会蓬勃发展，有的则走向消亡。总体来说，消亡的都是不赚钱的基金。因此，根据10年后仍然存在的共同基金判断10年间共同基金的价值，这样的做法就如同通过计算成功返航飞机上的弹孔数来判断飞行员躲避攻击操作的有效性，都是不合理的。如果我们在每架飞机上找到的弹孔数都不超过一个，这意味着什么呢？这并不表明美军飞行员都是躲避敌军攻击的高手，而说明飞机中弹两次就会着火坠落。
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博学资本的研究表明，如果在计算收益率时把那些已经消亡的基金包含在内，总收益率就会降到134.5%，年均收益率就是非常一般的8.9%。《金融评论》（Review of Finance）于2011年针对近5 000只基金进行的一项综合性研究表明，与将已经消亡的基金包括在内的所有基金相比，仍然存在的2 641只基金的收益率要高出20%。幸存者效应的影响力可能令投资者大为吃惊，但是亚伯拉罕·瓦尔德对此已经习以为常了。
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数学是常识的衍生物
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年轻的读者朋友看到这里，可能会问我：哪里能用得上数学知识啊？的确，瓦尔德是一位数学家，他在解决弹孔问题时也表现得很睿智，但是这跟数学有关系吗？他们产生这样的疑问是有道理的。在瓦尔德的回答里，我们没有看到三角恒等式和积分，也看不到任何不等式和公式。
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其实，瓦尔德真的用到了某些公式。但是，我在讲述这个故事时把这些公式略去了，因为我现在写的这个部分仅仅是本书的引言部分。在为一名幼童介绍人类繁衍问题的书中，引言部分显然不能详细地告诉他们婴儿是如何进入妈妈的肚子的。我们很可能会这样说：“自然界中的所有东西都会变化。到了秋天，树会落叶，等到了春天，它们又会变得郁郁葱葱。蛹里的幼虫在破茧而出后会变成五彩斑斓的蝴蝶，你也是自然界的一部分，因此……”
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因此，我在引言部分采用了同样的方法。
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然而，我们毕竟都是成年人了，所以，我稍稍偏离主题，从瓦尔德的真实报告中抽取一页让大家看看。
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……可以得出的下限。在这里，我们假设由减少至时，上下两端的极限值是确定的。因此，我们可以得出的上限和下限。
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上述表达式难以求出具体的解，但是在i
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条件A满足，因为通过替换
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希望大家看完之后不会头晕眼花。
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瓦尔德的独到见解其实根本不需要以上述形式表达。我们没有用到任何数学概念，也可以把这个问题解释得一清二楚。因此，学生们提出的问题确实有道理。数学到底是什么？仅仅是一些常识性的东西吗？
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是的，数学就是一些常识。从某个基础层面看，这是毫无疑问的。你有5件物品，再加上7件，跟你有7件物品再加上5件，结果毫无区别，你能解释这是为什么吗？你无法解释，因为在思考把不同的物品合并到一起的问题时，我们就是这样做的。数学家们经常会就常识已经了解的现象给出不同的名称。我们不会说“把这些物品加上那些物品，与把那些物品加上这些物品，结果是相同的”，而会说“加法具有交换性”。由于我们青睐各种数学符号，因此我们有时会这样写：
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对于任意的a与b，有a+b=b+a。
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尽管这样的公式看上去过于正式，但实际上我们所讨论的内容是每个孩子都清楚的事实。
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乘法的情况稍有不同，但下面这个公式看上去与上面的公式非常相似：
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