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条件A满足,因为通过替换
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希望大家看完之后不会头晕眼花。
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瓦尔德的独到见解其实根本不需要以上述形式表达。我们没有用到任何数学概念,也可以把这个问题解释得一清二楚。因此,学生们提出的问题确实有道理。数学到底是什么?仅仅是一些常识性的东西吗?
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是的,数学就是一些常识。从某个基础层面看,这是毫无疑问的。你有5件物品,再加上7件,跟你有7件物品再加上5件,结果毫无区别,你能解释这是为什么吗?你无法解释,因为在思考把不同的物品合并到一起的问题时,我们就是这样做的。数学家们经常会就常识已经了解的现象给出不同的名称。我们不会说“把这些物品加上那些物品,与把那些物品加上这些物品,结果是相同的”,而会说“加法具有交换性”。由于我们青睐各种数学符号,因此我们有时会这样写:
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对于任意的a与b,有a+b=b+a。
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尽管这样的公式看上去过于正式,但实际上我们所讨论的内容是每个孩子都清楚的事实。
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乘法的情况稍有不同,但下面这个公式看上去与上面的公式非常相似:
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对于任意的a与b,有a×b=b×a。
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这个句子所表达的意思不像加法交换律那样,让人一看立刻就会说:“是啊。”
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两个6件套的物品与6个两件套的物品总数相等,这是一种“常识”吗?
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也许算不上常识,却可以变成一种常识。在我刚学数学时发生的一件事,让我至今记忆犹新。我那时大约6岁,我躺在父母房间的地板上,脸贴着长绒地毯,眼睛盯着房间里的立体声音响,音响播放的可能是甲壳虫乐队的蓝版专辑(Blue Album)第二面的歌曲。在20世纪70年代,立体声音响都有刨花板做的面板,在侧面凿有气孔。这些气孔排列成矩形,每行有8个,每列有6个。我平躺在那儿,看着这些气孔——6行8列。我一边上下左右打量着这些气孔,一边翻来覆去地琢磨:6行,每行8个孔;8列,每列6个孔。
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突然,我明白了:每列6个、共8列,与每行8个、共6行的总数一样多。没有人告诉我这个规律,但我知道结果就是这样。因为无论你怎么数,气孔的数量都不变。
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我父母的立体声音响,1977年
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