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我见过有人因为这个问题都快要挥拳相向了，在《魔兽世界》粉丝主页、艾茵·兰德论坛等网站，人们也就这个问题争论不休。关于芝诺悖论，我们的自然反应是“我们当然能买到冰激凌”。但是，在我们讨论的这个问题上，直觉却给出了不同的答案。如果我们一定要问出答案，大多数人会说“0.999 9……不等于1”。毫无疑问，这个循环小数看上去不等于1，要小一点儿，但两者的差不是很大。就像例子中那位买不到冰激凌的家伙一样，这个循环小数与1越来越接近，但可能永远也无法等于1。
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不过，无论哪里的数学老师，包括我本人，都会告诉他们：“你错了，这个循环小数就是等于1。”
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那么，我怎么才能说服他们呢？下面这个方法效果不错。大家都知道
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0.333 33……=1/3
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两边同时乘以3
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0.333 33……×3=1/3×3
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我们会发现
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0.999 99……=1
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如果这样还不能说服你，那么我们把0.999 99……乘以10，也就是把小数点向右移一位
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10×0.999 99……=9.999 99……
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再把讨厌的小数从两边减去
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10×0.999 99……–1×0.999 99……=9.999 99……–0.999 99……
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等式的左边就是9×0.999 99……，因为一个数的10倍减去该数就是这个数的9倍。而等式的右边，我们成功地消除了讨厌的循环小数，只剩下9。因此，我们得到
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9×0.999 99……=9
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如果一个数的9倍是9，那么这个数只能是1，不是吗？
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通常，这个证明过程可以说服别人。但是，坦率地讲，这个证明并不完美。它不能让人们彻底消除疑虑去相信0.999 99……等于1，而是迫使人们接受一个代数关系：“你们知道1/3就是0.333 3……吧？难道不是吗？”
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更糟糕的是，你们之所以接受我的证明过程，可能是因为我先进行了乘以10这个运算。但是，这个运算没有问题吗？我们看看下面这个算式的结果是多少。
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1+2+4+8+16 +……
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在这个算式中，符号“……”表示“求和永远不会终止，且每次的加数是前一个加数的2倍”。毫无疑问，该算式的和是一个无穷大的数。上面那个包含0.999 99……的证明过程看似正确，但有一个与之十分相似的证明过程却会得出不同的结果。对上面这个求和算式乘以2，我们得到
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2×（1+2+4+8+16 +……）= 2+4+8+16+……
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这个结果与原来的求和算式十分相似，实际上，它是原来的求和算式1+2+4+8+16 +……减去了第一个加数1，也就是说，2×1+2+4+8+16 +……比1+2+4+8+16 +……少1。换言之
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2×（1+2+4+8+16 +……）–1×（1+2+4+8+16 +……） = –1
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但是，这个算式的左边化简后就会得到原来的求和算式，于是我们得到
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1+2+4+8+16 +……= –1
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你相信这个结果是正确的吗？加数越来越大的无限循环加法运算的结果竟然是负数，你能相信吗？
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