1701023279
1701023280
[2]这肯定是不可能的，但是直到18世纪人们才完成了相关证明。
1701023281
1701023282
[3]事实上，早先的筒仓不是圆柱体。直到20世纪，威斯康星大学的金（F·H·King）教授发明了现在普遍采用的圆柱体结构，筒仓才变成了圆柱体。金的这项发明是为了解决筒仓角落里的谷物容易腐烂变质的问题。
1701023283
1701023284
[4]当然，我们可以通过在平面上平移、旋转前面的那个等腰直角三角形，得到能组成一个正方形的4个三角形。我们默认这些操作不会改变图形的面积。
1701023285
1701023286
[5]不考虑万有引力、空气阻力等影响，在较短的时间内，其运动轨迹非常接近直线。
1701023287
1701023288
[6]约翰·康威（John Conway）提出的“超实数”（surreal numbers）就是一个典型的例子。从这个名字就可以看出来，这些数字非常迷人，却又非常怪异。超实数是数字与战略博弈构成的一个奇怪混合体，人们至今还没有完全探索出其中的精义。我们可以从伯莱坎普（Berlekamp）、康威与盖伊（Guy）合著的《稳操胜券》（Winning Ways）一书中了解这些奇怪的数字，还可以学到大量博弈论方面的数学知识。
1701023289
1701023290
[7]数学上的所有突破都是在前人研究成果的基础之上实现的，柯西的极限存在准则也不例外。柯西给出的定义在很大程度上秉承了让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）判别法的核心思想。不过，毫无疑问，柯西定理是一个转折点，从此以后，数学进入了现代分析的时代。
1701023291
1701023292
[8]格兰迪最初在神学研究中应用了发散级数，考虑到这个事实，阿贝尔的这个观点极具讽刺意味。
1701023293
1701023294
[9]琳赛·洛翰（Lindsay Lohan）有一句名言：“极限是不存在的。”
1701023295
1701023296
[10]我们在数学课程里学到的e和∆，就来自柯西积分公式。
1701023297
1701023298
1701023299
1701023300
1701023301
魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022617]
1701023302
魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第3章 到2048年，人人都是胖子？
1701023303
1701023304
喜剧演员尤金·米尔曼（Eugene Mirman）讲过一个统计学方面的笑话。他说自己经常告诉人们：“通过阅读，我发现美国人百分之百都是亚裔人。”
1701023305
1701023306
人们感到很奇怪，就问他：“但是，你不是亚裔人啊。”
1701023307
1701023308
这时候，尤金就会抖出包袱，非常自信地说：“通过阅读，我发现自己是亚裔人！”
1701023309
1701023310
《肥胖》（Obesity）杂志上的一篇文章，让我不由自主地想起了米尔曼的这个笑话。那篇文章在标题中提出了一个令人尴尬的问题：“所有美国人是否都会超重甚至肥胖？”也许觉得问句的力量还不够震撼，文章又给出了一个肯定的答案：“会的，到2048年就会这样。”
1701023311
1701023312
到2048年，我的年纪将是77岁，我不希望自己超重，但是这篇文章告诉我：我会的！
1701023313
1701023314
不用想都知道，《肥胖》杂志上的这篇文章引起了媒体的关注。美国广播公司（ABC）发出了“肥胖启示”的警告，《长滩电讯日报》（Long Beach PressTelegram）给出了一个直截了当的标题：“我们越来越胖了”。对这个现象稍加研究，我们就会想到最近美国人在思考国民道德现状时，面对各种不同现象所表现出来的焦躁多虑。在我出生之前，男孩子们都留长发，于是人们担心年青一代会不务正业。在我小的时候，我们喜欢玩街机游戏，于是人们觉得我们注定竞争不过勤劳的日本人。现在，我们经常吃快餐，于是人们又怀疑我们将身体虚弱、行动不便，像一摊泥一样，瘫在早已无法摆脱的沙发上死去，周围还堆满了空空的炸鸡桶。显而易见，这篇文章把这种焦虑当作经过科学验证的事实了。
1701023315
1701023316
我要告诉大家一个好消息：到2048年，不会人人都超重。为什么呢？因为不是所有的线都是直线。
1701023317
1701023318
但是，我们在前面讨论过，牛顿发现所有的线都与直线非常接近，由此催生了“线性回归”（linear regression）这个概念。社会学经常要用到线性回归分析这种统计学技术，就像居家维修要使用螺丝刀一样。我们在报纸上看到的那些内容，诸如：有很多亲戚的人会更幸福；“汉堡王”连锁店开得越多的国家，越容易面临道德沦丧的问题；烟酸摄入量减半的话，患足癣的危险就会加倍；收入每增加1万美元，美国人把选票投给共和党的可能性就会增加3%，等等。所有这些，都是线性回归分析的结果。
1701023319
1701023320
下面，我告诉大家线性回归分析的使用方法。假设你要分析两个事物之间的关系，比如大学学费与新生SAT平均分。你可能认为，SAT分数高的学校，很有可能收费也高，但是我们稍做数据分析，就会发现并非如此。毗邻北卡罗来纳州伯灵顿市的伊隆大学，新生数学与语言测试的平均分是1 217分，年均学费是20 441美元。与伊隆大学距离不远、位于格林波若的吉尔佛大学，学费稍高，为23 420美元，但是新生的SAT平均分仅为1 131分。
1701023321
1701023322
如果进一步研究多所学校的情况，比如2007年把学费与SAT分数情况报告给北卡罗来纳职业资源网的31所私立高校，就能清楚地看到某种趋势。
1701023323
1701023324
下图中每个点分别代表其中一所高校。靠近右上角的位置有两个点，SAT分数与学费都非常高，代表的是维克森林大学和戴维森学院。靠近底部的位置有一个孤零零的点，代表的是卡巴拉斯健康科学学院，是这些私立高校中唯一一所学费低于1万美元的大学。
1701023325
1701023326
1701023327
1701023328