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这种观点让我觉得很可怕：这些运算法则是人们辛勤钻研的成果，是十分有用的工具，我们没有理由非得一切从零开始。
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与此同时，我认为我们的确有充分的理由将某些运算法则从现代教学中移除。比如，我们无须教学生用笔算或心算的方式开平方（尽管从我个人的长期经验来看，用心算的方式开平方，可以在派对中吸引一大群没有社交经验的人）。计算器是人们辛勤钻研的成果，必要时我们可尽情使用。即使我的学生不会用长除法计算430除以12的商，我也觉得无伤大雅，但是我要求他们必须对数学有足够的感觉，能够估算出这道题的得数略大于35。
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人们之所以过分强调运算法则与精确计算，原因在于运算法则与精确计算易于评判。如果我们把数学的目标仅定为“得出正确答案”，并以此作为测试依据，那么我们培养的学生很有可能考试成绩优秀，却对数学一窍不通。这样的结果对那些单纯以考试分数为唯一学习目标的人来说，是令人满意的，在我看来却不妥当。
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当然，如果我们培养的大批学生对数学的含义浅尝辄止，无法快捷正确地解题，结果同样不能令人满意（事实上，这样的结果甚至更糟糕）。数学老师最不希望听到学生说“我明白这个概念，但是不会做题”。其实，这句话的意思就是“我没弄明白这个概念”，只不过这名学生并不自知。数学概念有时非常抽象，只有应用到具体计算当中才有意义。威廉·卡洛斯·威廉姆斯（William Carlos Williams）[5]说过一句简明扼要的话：凡理皆寓于物。
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这场较量在平面几何领域进行得最为激烈。平面几何是教授证明方法的最后阵地，而证明是最基础的数学行为。在众多专业的数学人眼中，平面几何是捍卫“真正的数学”的最后防线。但是，我们在教几何学时，对证明过程的唯美、作用及意外发现应以怎样的度为宜呢？这个问题还没有明确的答案。几何教学很容易变成重复性练习，就像一次性完成30道定积分练习题那么枯燥乏味。这样的情形非常可怕，因此菲尔兹奖获得者戴维·芒福德（David Mumford）建议彻底放弃平面几何教学，代之以编程基础课程。毕竟，计算机程序与几何证明有很多共通之处：两者都要求学生从多个可选项中找出若干非常简单的内容，依次将它们组合到一起，形成序列，用于完成某个有意义的任务。
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我没有芒福德那么偏激，事实上，我的观点比较温和。虽然有可能两边不讨好，但我认为数学教学既要重视答案的精确，也要鼓励明智的含糊，既要培养学生熟练运用已有运算法则的能力，又要引导他们在较短时间内掌握解题所需的常识。总之，数学教学应做到张弛有度，否则，我们所从事的活动就根本谈不上是数学教学。
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这样的要求虽然比较高，但是，优秀的数学教师就应该埋头教学。至于数学战争的问题，还是交由管理部门去考虑吧。
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关于肥胖问题的荒谬研究
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到2048年，到底会有多少美国人超重呢？看看王友法（音）与合作伙伴完成的“肥胖”研究项目，我们就能猜到这个问题的答案。美国国家健康和营养调查（NHANES）选择大量有代表性的美国人作为样本，跟踪调查他们的健康数据，内容涉及听力衰退、性传播疾病等多个方面。该研究还给出了超重美国人的精确占比，在这项研究中，超重的定义是体重指数超过25。[6]毫无疑问，在最近几十年内，美国人的超重现象越来越普遍。20世纪70年代初，体重指数超过25的美国人不足半数，到90年代初，这个数字接近60%，到2008年，几乎有3/4的美国人都超重了。
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我们可以用反映导弹在垂直方向上的飞行路线的方式，将肥胖的普遍程度随时间发生的变化绘制成图：
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据此我们可以进行线性回归，其分析结果大致为：到2048年，这条线会越过100%。
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因此，王友法在论文中断言，如果这种趋势继续下去，到2048年，所有美国人都会超重。但是，这种趋势不会也不可能继续下去。否则，到2060年，超重美国人的占比将达到109%。
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在现实中，超重人口将不断增加，其走势如下图所示，可表示成朝100%接近的曲线。
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在万有引力的作用下，导弹的飞行路线呈抛物线状，而超重人口的增长态势并不遵从某种严格的规则，不过与医疗卫生领域的研究结果一样，其轨迹也接近于抛物线。超重人口的比例越高，未来体重可能超重的人就越少，因此超重人口的比例向100%靠近的速度越慢。实际上，在100%以下的某个时候，增长曲线可能会变成水平线。我们身边总会有瘦子，实际情况也确实如此。仅仅过了4年，NHANES的分析结果表明，超重人口比例的增长速度就已经慢下来了。
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但是，《肥胖》杂志刊登的这篇文章还掩盖了人们在数学与常识方面犯下的一个更严重的错误。线性回归易于操作，一旦尝试过，就会乐此不疲，因此，王友法及其合作伙伴将他们收集的数据按照种族与性别进行分组。例如，黑人超重的比例低于美国人的平均水平，更重要的是，他们当中超重人口的增长速度是美国超重人口平均增长速度的一半。如果我们将黑人的超重人口比例叠加到美国的超重人口比例之上，再结合王友法及其合作伙伴所做的线性回归，就会得到下图：
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黑人们的情况多棒啊，他们要到2095年才会全体超重，在2048年，黑人超重人口的比例为80%。
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看出其中存在的问题了吗？如果全体美国人在2048年都会超重，那么美国黑人中那1/5的不超重的人在哪里呢？难道被放逐到海外了吗？
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在这篇论文中，这种基础性矛盾竟然无人提及。这样的流行病学分析跟上文所说的水桶中还剩–4克水的计算结果没有任何区别，简直毫无意义！
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[1]在本例中，是否“最接近于”，可通过下列方法衡量：我们用根据该直线估算的学费取代各校实收学费，然后针对各所学校计算出估算学费与实收学费之间的差额，求取所有差额的平方和，得到的数值可以表示直线偏离所有点的情况，最后选取该数值为最小值的那条直线。求取平方和的做法似乎与毕达哥拉斯的研究方法不谋而合。事实上，线性回归中隐含的几何学原理从本质上讲就是勾股定理，只不过被移植、升级到一个维数高得多的领域罢了。但是，要解释其中的道理需要进行更多的代数处理，限于篇幅，这里不展开讨论。不过，读者可参阅第15章中对相关性与三角学的讨论。