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这个结果有点儿奇怪。南达科他州脑癌频发，为什么北达科他州却几乎没有人患上这种癌症呢？为什么住到佛蒙特州就安全，而住在缅因州就有危险呢？
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原因不是南达科他州一定会让居民患上脑癌，而北达科他州的居民则对癌症免疫。排在榜首的这5个州有共同的特点，而排在榜尾的那5个州也有相似之处，即这些地方人口稀少。在排在前面和末尾的这9个州（及一个特区）中，人口最多的是内布拉斯加州。在人口排名的竞争中，该州与西弗吉尼亚州是难兄难弟，双方为第37名的位置争得热火朝天。这个分析结果似乎表明，居住在人口较少的州，患脑癌的概率有可能高得多，也有可能低得多。
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很显然，这个结论没有任何道理，因此，我们最好换一种解释方法。
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为了更好地理解这种情况，我们先做一个虚拟游戏，游戏的名字叫作“谁最善于抛硬币”。玩法很简单，将一把硬币抛出去，正面朝上的硬币数量最多的一方获胜。我们给这个游戏增加一点儿趣味性，让大家手里握的硬币数量不同。有些人（“小数”组）只有10枚硬币，有些人（“大数”组）则有100枚硬币。
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如果以正面朝上硬币的绝对数量来计分，我们几乎可以肯定获胜方是“大数”组的成员。“大数”组成员大多都有约50枚硬币正面朝上，这个数字是“小数”组成员无法企及的。即使“小数”组有100名成员，他们当中的最高得分也只能是8或9枚。
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显然，这样的玩法并不公平，因为“大数”组拥有难以逾越的先天优势。因此，我们可以改进这个游戏：在评分时，不以绝对数量为依据，而是根据比例来计分。这样的计分方法，对两个组来说应该是公平的。
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但是，这个计分方法仍然不公平。我前面说过，如果“小数”组有100名成员，至少有一个人可能抛出8枚正面朝上的硬币，因此他的得分为80%。那么“大数”组的成员呢？他们都不会有80%的硬币是正面朝上的。当然，可能性是存在的，但却不会发生。事实上，从概率的角度看，“大数”组必须包含20亿名成员，出现过高或过低的结果才是合理的。这个结论符合我们对于概率的直觉认识，抛的硬币越多，越有可能出现一半正面朝上一半正面朝下的结果。
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读者朋友们可以自己尝试一番，我就动手做过这个实验。为了模拟“小数”组成员，我一次抛10枚硬币，连续抛很多次，硬币正面朝上的数量构成下面这个序列：
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4，4，5，6，5，4，3，3，4，5，5，9，3，5，7，4，5，7，7，9……
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然后，我模拟“大数”组成员，一次抛出100枚硬币，多次抛投的结果为：
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46，54，48，45，45，52，49，47，58，40，57，46，46，51，52，51，50，60，43，45……
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每次抛1 000枚硬币的结果是：
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486，501，489，472，537，474，508，510，478，508，493，511，489，510，530，490，503，462，500，494……
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算了，还是跟大家坦白吧。我并没有真的抛1 000枚硬币，而是用计算机模拟得出的结果，谁有那么多的时间抛1 000枚硬币呢？
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不过，还真的有人这样做了。1939年，南非数学家克里奇（J. E. Kerrich）因为冒失地跑到了欧洲，结果很快在丹麦被逮捕并被关进了集中营。如果一个普通人被关在集中营，不知道猴年马月才能重见天日，那么他可能会在牢房的墙壁上刻画记号记录天数，以此来帮助自己度过这段难熬的时光。不过，克里奇这位热衷于统计学研究的囚犯则不同，他总共将一枚硬币抛了1万次，还记录了正面朝上的数量，统计结果如下图所示。
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从中我们可以看出，随着硬币的数量越来越多，正面朝上的概率明显地向50%靠近，就好像被一把看不见的老虎钳钳住了一样。计算机模拟也会产生同样的结果。抛10枚硬币，正面朝上的比例范围为30%~90%；抛100枚，比例范围缩小，变为40%~60%；抛1 000枚，比例范围仅为46.2%~53.7%。在某个规则的作用下，这个比例越来越接近50%。这只不讲情面、无法抗拒的“手”就是“大数定律”（Law of Large Numbers）。这里，我就不赘述这条定理了（尽管这条定理极具美感），但是我们可以这样理解：抛的硬币越多，正面朝上的比例为80%的概率就越小。事实上，如果抛的硬币足够多，结果为有51%的硬币正面朝上的概率也是微乎其微的！在抛10枚硬币的情况下，如果得到高度失衡的结果，并不值得我们关注。但是，如果抛100枚硬币，结果仍然失衡，那就让人吃惊了，我们甚至会怀疑：是不是有人在硬币上动了手脚？
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随着实验不断重复，实验结果往往会趋于稳定，并接近一个固定的平均值。事实上，自从运用数学方法研究概率以来，我们经常会得出这样的结论。16世纪的吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）就用不是十分正式的方式提出了这个原则，但是，直到19世纪初，西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）才赋予它一个简明扼要的名字：大数定律。
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抛硬币与法国警察的帽子
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18世纪初，雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）完成了对大数定律的精确表述与数学证明。如今，人们不再把他的研究结果视为观察结果，而是一个定律。
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根据这个定律，这种大数–小数的游戏并不公平。由于有大数定律，“大数”组成员的得分有向50%靠拢的趋势，而“小数”组的得分变化程度则较大。我们不能就此得出结论，认为“小数”组成员“更善于”抛硬币，即使他们每次都能获胜。如果我们把所有“小数”组成员（而不仅仅是得分高的成员）正面朝上的比例进行平均，结果就会与“大数”组相仿，也接近50%。如果我们统计的不是硬币正面朝上数量最多的，而是最少的，那么“小数”组成员的成绩就会一下子变得非常糟糕，很有可能某位选手抛的正面朝下的硬币比例仅为20%，而所有“大数”组成员的得分都不会这么低。统计正面朝上的绝对次数会让“大数”组拥有无与伦比的优势，但是统计比例的方法同样会使游戏不公平，只不过这次是“小数”组占便宜罢了。硬币的枚数（我们在统计学中称之为“样本大小”）越少，正面朝上的硬币所占比例的变异性就会越显著。
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因此，在进行政治民意测验时，如果投票人数很少，调查结果就不那么可靠。脑癌的调查也是如此。在人口较少的州，其样本数量比较小，因此，统计结果就会像羸弱的小草一样，一旦概率这股狂风吹过来，它们就会东倒西歪，而那些人口大州就像参天大树，在狂风中傲然挺立。如果统计脑癌致死的绝对人数，人口大州的结果就会偏高，但是，如果计算脑癌致死人数的最高比例（计算最低比例的结果也一样），又会把人口少的州推到靠前的位置。南达科他州是脑癌死亡人数比例最高的州之一，而北达科他州却位于最低的行列，原因就在这里。不是因为拉什莫尔山或者华尔药局会散布某种对大脑有害的毒素，而是因为小数比例天性多变。
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我们都非常熟悉这个数学事实，只是有时我们视而不见罢了。大家知道谁是NBA（美国职业篮球联赛）中的神投手吗？在2011~2012赛季中的某一个月里，有5名球员投篮命中率相同，并列全联盟榜首。这5名球员是阿蒙·约翰逊（Armon Johnson）、德安德鲁·利金斯（DeAndre Liggins）、莱恩·瑞德（Ryan Reid）、哈西姆·塔比特（Hasheem Thabeet）和罗尼·图里亚夫（Ronny Turiaf）。
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那么，到底谁投篮最准呢？
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这个问题可不好回答。他们都不是NBA最优秀的投手，连上场机会都很少。比如，阿蒙·约翰逊只代表波特兰开拓者队打了一场比赛，他有一次投篮，而且投进了。名单上的这5个家伙一共投篮13次，全部命中。小样本更多变，因此NBA的最优秀投手总是多次投篮而且运气不错的球员。尼克斯队的泰森·钱德勒（Tyson Chandler）一个赛季投篮202次，有141次命中得分，在打满所有场次比赛的球员中名列榜首。显然，我们不会说阿蒙·约翰逊的投篮比钱德勒更精准。（如果有人对此表示怀疑，可以去看看约翰逊在2010~2011赛季的表现。在那个赛季，他的投篮命中率一直保持在45.5%，这样的命中率十分普通。）因此，阿蒙·约翰逊这样的球员根本不会出现在NBA的球星排行榜上。NBA的各种排名都对上场时间设定了最低要求，否则，由于小样本的特点，上场时间很短的不知名球员就会上榜。