1701023857
魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022622]
1701023858
魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第7章 大西洋鲑鱼不会读心术
1701023859
1701023860
统计学检验方法之所以引起了人们的关注，是因为人们在使用这个标准的统计学工具时，得出的结果有时会令人感到不可思议，关于圣经密码的争议仅是个案。例如，医学上的功能性神经成像技术就引发了非常热烈的争论。功能性神经成像技术的作用原理，是通过准确性不断提高的传感器，让科学家看到在人体神经突触上传递的各种想法与感受。2009年，在旧金山召开的国际人脑成像组织大会上，加州大学圣塔芭芭拉分校的神经学家克雷格·班尼特（Craig Bennett）做了一个会议报告，题目是“大西洋死鲑鱼对人类神经活动的观察——论多重比较修正的重要性”。要解读这个专业性较强的标题，需要花费一些时间，不过，只要我们认真阅读，就会发现在这个报告中，作者提出了一些非常鲜明的观点。研究者将一些人类活动的照片展示给一条死鱼“看”，通过功能性磁共振成像（fMRI）装置，他们发现这条死鱼竟然能够正确地判断出照片中人物的情绪。即使是一个死人或者一条活鱼有这样强的能力，都足以给人留下深刻的印象。如果有谁发现一条死鱼拥有这种能力，那他一定可以凭借此项发现问鼎诺贝尔奖！
1701023861
1701023862
当然，这仅仅是一个冷笑话。（不过，这个报告的质量非常高，我特别喜欢其中介绍“研究方法”的那个部分。作者首先说明：“一条成年大西洋鲑鱼参与了功能性磁共振成像研究。这条鲑鱼长约18英寸[1]，重3.8磅[2]，在扫描时已经死亡……在头部线圈内放置发泡垫，以便在扫描过程中限制鲑鱼的活动，但是事实证明，实验对象的活动性极小，因此基本不需要该装置。”）同所有的笑话一样，它实际上是一种含蓄的批评：某些神经成像技术研究人员的方法不够严谨，忽略了“小概率事件并不少见”这个基本真理，从而犯下错误。神经学家将fMRI扫描图像分成成千上万个细小的部分（体素），每个体素对应大脑的一个极小区域。在扫描大脑时，即使扫描的是死鱼的脑部，每个体素上也会有一定数量的随机噪声。在向这条死鱼展示某个人抓狂的拍照片时，随机噪声正好达到峰值的可能性极低。但是，神经系统非常庞大，可供选择的体素有成千上万个。在这些体素中，很可能出现一个体素的数据与照片正好匹配的情况，班尼特与实验伙伴们发现的正是这种情况。事实上，他们找到了对人类情感做出明显反应的两组体素，一组位于鲑鱼颅腔的中部，另一组位于鲑鱼脊柱的上部。班尼特的这份报告向我们发出警告：在这个时代，我们可以轻易地获得海量数据，因此，在运用功能性神经成像这个方法区分真实现象与随机噪声时，这些海量数据有可能导致我们犯错误。如果这条鲑鱼与人类产生了情感共鸣，我们就必须小心谨慎，并考虑我们的取证标准是否足够严格。
1701023863
1701023864
意外发现越多，就越应该提高意外发现的定义门槛。如果某个陌生人声称，他不再摄入任何北美谷类之后体重减轻了15磅，湿疹也消失了，当我们是在机缘巧合的情况下看到他的声明时，就不能认为这是“不摄入玉米有益健康”观点的有力证据。原因在于，如果某个人在兜售倡导这种饮食计划的书，那么会有数以千计的人购买这本书并尝试这个饮食计划，单从概率的角度说，这些人当中很可能有一个人在经过一周的尝试之后，体重有所减轻，皮肤也变得光滑了。于是，在兴奋之余，这个家伙就以“向452号玉米说再见”的名义登录网站，并发帖推荐这个饮食计划。而那些尝试这种饮食计划之后没有效果的人则会保持沉默。
1701023865
1701023866
班尼特的这篇论文引人关注的地方，不在于他指出死鱼身上有一两个体素通过了统计学检验，而是他的一个惊人发现。他参阅了多篇神经成像方面的论文，发现这些论文中竟然有相当高比例的文章没有使用统计偏差预防措施——“多重比较修正”（multiple comparisons correction），也就是说，这些文章没有考虑小概率事件的普遍存在。缺乏这个修正措施，科研人员很有可能把自己的研究结论变成巴尔的摩股票经纪人玩的那套把戏，不仅使他们的同事受到蒙蔽，自己也会误入歧途。如果在收到一连串预测正确的股票行业资讯后异常兴奋，全然不知还有更多的预测在失败之后被扔进了垃圾桶，我们就会招致潜在的风险。同样，因为看到死鱼身上有一两个体素的反应与照片上人物的情绪相吻合而兴奋不已，却忽略了其余的体素，这样的做法也是非常危险的。
1701023867
1701023868
代数为什么那么难学？
1701023869
1701023870
上学期间，很多孩子会在两个时间点放弃数学学习。第一个时间点是在小学阶段开始学习分数时。在此之前，孩子们接触的都是自然数，也就是0、1、2、3等数字，这些数字可以回答“有几个”这种形式的问题。[3]自然数的概念非常简单，据说很多动物都能理解，但是，分数表示“几分之几”，是一个极为宽泛的概念。因此，从自然数到分数是一个哲学上的飞跃。19世纪的代数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“自然数是上帝的杰作，而其余的数字则是人类创造的。”
1701023871
1701023872
第二个时间点是学习代数时。代数为什么那么难呢？这是因为在代数问世之前，我们对数字的计算都是简单的算术运算。我们把一些数字代入加法或者乘法（在一些传统的学校里，还有长除法）算式中，随后我们就可以得到结果了。
1701023873
1701023874
但是代数不同，它是一种自后向前的计算过程，例如：
1701023875
1701023876
x+8=15
1701023877
1701023878
我们已知加法运算的得数（15），因此我们要完成的是一个逆向运算，即找出与8相加等于15的那个数字。
1701023879
1701023880
七年级的数学老师肯定告诉过我们，在这种情况下，我们可以做一些调整以便于计算，于是上式变成：
1701023881
1701023882
x=15–8
1701023883
1701023884
此时，我们通过15减去8的减法运算算出x等于7。
1701023885
1701023886
但是，并不是所有的代数问题都如此简单。我们还有可能需要解二次方程式，例如：
1701023887
1701023888
x2–x=1
1701023889
1701023890
不会吧？（我听到你发出的惊呼声了。）我们有没有可能遇到这样的问题呢？如果老师不要求，我们才不会解这样的难题呢，不是吗？
1701023891
1701023892
我们回过头去思考第2章讨论的导弹问题，那颗导弹正在向我们快速飞来。
1701023893
1701023894
1701023895
1701023896
1701023897
也许，我们知道导弹是从高于地面100米的位置发射的，上升的速度为200米/秒。如果没有万有引力的作用，根据牛顿定律，导弹将一直沿直线轨迹向上运动，每秒爬升200米，x秒之后的高度可用下列线性函数表示：
1701023898
1701023899
高度=100+200x
1701023900
1701023901
但是，导弹肯定会受到万有引力的影响，因此，它会沿弧形轨迹落在地球上。研究发现，在上述函数中添加一个二次项，就能描述万有引力的作用：
1701023902
1701023903
高度=100+200x–5x2
1701023904
1701023905
其中，该二次项前有一个负号，这是因为万有引力对导弹的作用力是向下而不是向上的。
1701023906