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通过计算，我们知道导弹位于地面的时间点正好有两个。一个时间点是在0.493 9……秒以前，这就是发射时间；另一个时间点是在40.493 9……秒之后，这是弹着时间。
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求出上述方程式的两个根似乎并不难，如果我们经常使用一元二次方程式，就更容易了。但是，如果我们年仅12岁，这个方程式将会成为我们哲学观的一个转折点。在这之前的6年时间里，我们一直在寻找问题的唯一答案，但是从这一刻起，我们突然发现并不存在“唯一答案”这样的东西，这让我们感到无所适从。
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这还仅仅是一元二次方程式引起的问题。如果我们需要求解的是这样一个一元三次方程式，也就是说x升级为三次幂了。幸运的是，我们可以解开一元三次方程式，通过计算就能知道x的值是多少。文艺复兴后期，一些代数学家在意大利四处游历，以金钱与地位为赌资，与人在公开场合打赌求解方程式。在这个过程中，一元三次方程式诞生了。但是，知道一元三次方程式的人为数不多，他们秘而不宣，记录时也会采用隐晦的韵文形式。
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这件事说来话长，而我在这里要告诉大家的是，逆向运算的难度非常大。
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圣经密码研究者们一直琢磨的推理问题也是一种逆向运算，因此不是轻而易举就能解决的。在我们钻研科学、研究《托拉》或者蹒跚学步时，我们需要通过摆在我们面前的各种观察结果，形成一个个理论。我们要解决的是眼前这个世界的难题，那么答案是什么呢？推理是一项难度很大的工作，甚至是难度最大的工作。我们根据眼前的蛛丝马迹，努力地求解一个又一个x，希望最终能拨开迷雾，找到答案。
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推翻零假设
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有一个基础性问题一直在我们的脑海中挥之不去：在现实生活中发现的各种现象，有的令人惊讶，有的则无须大惊小怪，那么我们应该采取何种判断标准呢？既然本书介绍的是数学，大家肯定认为能找到某种数学方法来解决这个问题。数学的确能帮我们实现这个愿望，但是有时也需要冒很大的风险。因此，我们必须讨论p值的问题。
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在此之前，我们需要先讨论“不可能性”（improbability）这个概念。关于不可能性，我们的理解到目前为止还非常含糊，甚至到了令人无法接受的程度。出现这种局面，是有原因的。数学中某些领域（如几何、代数）的知识是通过代代相传的方式传承下来的，这些领域与我们的直觉关系最为密切。我们几乎一出生就会数数，还会根据物体的位置与形状对其进行分类。对这些概念的诠释，与本书开头所讨论的也没有多大区别。
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但是，概率这个概念则大不一样。当然，我们对于不确定的事物也有某种直觉，不过，想要明确地表达出我们的这种感受是很困难的。一个原因就是概率论在数学史上出现的时间非常晚，最终成为数学课内容的时间就更晚了。如果我们认真思考概率的含义，往往会晕头转向。“抛硬币时正面朝上的概率是1/2”，这个说法的依据是我们在第4章讨论的大数定律。根据大数定律，抛硬币的次数越多，正面朝上的比例就会越趋近于1/2，仿佛在逐渐变窄的航道中航行时船只能前进一样。这就是所谓的概率论。
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但是，有时我们会说“明天的降水概率为20%”，这个说法又是怎么回事呢？明天只会出现一次，无法像抛硬币那样反复实验。经过一番努力，我们也可以把概率论硬套到天气预测上。我们要表达的意思可能是：大量调查发现，如果天气条件与今天类似，那么第二天下雨的天数在总天数中所占比例为20%。但是，如果有人问“人类在下一个千年灭绝的概率是多少”，我们就会目瞪口呆。因为我们知道，这个实验从本质上讲是无法重复的。我们甚至还会运用概率这个概念来讨论与可能性没有任何关系的事件，例如食用橄榄油预防癌症的概率是多少？莎士比亚是莎剧作者的概率是多少？《圣经》与地球是由上帝创造的概率是多少？用评估抛硬币和掷骰子结果的方法来回答这些问题，似乎是没有道理的。不过，在讨论此类问题时，我们会说“似乎不可能”或者“似乎有可能”。因此，我们可能无法抵制诱惑，从而提出“可能性有多大”的问题。
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当然，提出问题与回答问题不是一回事儿。我不知道如何通过实验直接评估“楼上的人”真的“在楼上”（或者真的是一个“人”，对于本例来说结果一样）的可能性。因此，我们只能退而求其次，采用第二有效的方法，至少是得到传统统计学认可的第二有效的方法。（我们马上就会发现，这是有争议的。）
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我们说过，从《托拉》中找出的字母序列不可能含有中世纪拉比的姓名。这个说法正确吗？很多笃信宗教的犹太人立刻就会予以反驳，指出人类即将了解的所有东西都以这样或那样的方式隐含在《托拉》中。如果这个观点正确，那么拉比的姓名与生卒日期在《托拉》中的出现不但有可能，而且几乎必然如此。
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关于北卡罗来纳的同一组彩票号码两次中奖，我们可以给出类似的解释。同一组号码在一周时间内两次中奖似乎是不可能的事，如果我们认可所有数字随机抽取这个假设前提，这种说法就是正确的。但是，我们也有可能认为这套系统有问题，导致4、21、23、34和39等数字出现的可能性更大。我们还有可能认为，负责管理彩票游戏的官员比较腐败，会按照自己的意愿挑选中奖号码。后两个假设条件只需满足一个，出现惊人的巧合就不是不可能的事。这里所说的不可能性是一个相对概念，而不是绝对概念。如果我们说某个结果是不可能的，那么无论我们有没有明确指出，我们的意思都是：根据我们对当今世界做出的某些假设，这个结果是不可能的。
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很多科学问题都可以被简化为二选一的简单形式：某件事正在发生，是还是不是？针对某种疾病研发的新药对该疾病确有疗效，还是作用为零？某种心理治疗方法可以提升我们的愉悦感（或者让我们更加兴奋），还是毫无效果？这种“毫无效果”的情况就叫作“零假设”（null hypothesis）。所谓零假设，指的是假设所研究的介入活动不起任何作用。如果我们是研发人员，研发了某种新药，那么零假设会让我们辗转反侧、无法入睡。如果无法将之排除在外，就无法知道我们选择的是可以取得医学突破的正确方向，还是做无用功的错误方向。
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那么，如何推翻零假设呢？我们可以借助某个标准框架——“显著性检验”（signifi cance testing），来实现这个目的。20世纪初，现代统计学方法的创始人费舍尔提出了该标准框架的常用形式。[4]
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接下来，我向大家介绍显著性检验的作用原理。我们需要做一个实验：找到100个实验对象，从中随机选取50个人，让他们服用我们研发的新药，剩下的50个人则服用安慰剂。我们显然希望服药病人的死亡率低于服用安慰剂的病人。
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我们的实验目的似乎非常简单：如果我们观察到服药病人的死亡率低于服用安慰剂的病人，我们就可以宣布新药研发成功，并向美国食品和药品管理局（FDA）递交上市申请。但是，这个观点是错误的。仅仅证明数据与理论相一致还不够，还要证明数据与反面理论不一致，也就是要排除讨厌的零假设。比如，我宣布自己拥有超能力，可以让太阳从地平线上升起。如果你想验证我的这个说法，只要在早晨5点钟时走到户外，就能看到我的超能力！但是，这样的证据根本谈不上是证据，因为根据零假设，即使我没有任何超能力，太阳也会照样升起。
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在阐释临床试验的效果时同样需要小心谨慎，我们用数字来说明这个问题。假定零假设成立，这就意味着服用新药的50名病人与服用安慰剂的50名病人的死亡率正好相等（比如说都是10%）。但是，这并不意味着服用新药和服用安慰剂的病人中各有5人死亡。连续多次抛硬币时，正面朝上与反面朝上的硬币刚好一样多的可能性不是特别大。同样，正好有5名服药病人死亡的概率也不大，约为18.5%。而且，在测试过程中，服药病人与服用安慰剂病人的死亡人数刚好相同的可能性也不是很大。通过计算，我发现：
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·服药病人与服用安慰剂病人的死亡人数刚好相同的概率为13.3%。
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·服用安慰剂病人的死亡人数少于服药病人死亡人数的概率为43.3%。
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·服药病人的死亡人数少于服用安慰剂病人死亡人数的概率为43.3%。
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如果服药病人的测试结果优于服用安慰剂的病人，并不能说明什么问题，因为即便在新药无疗效这个零假设前提下，出现这样的结果也绝对不是不可能的。
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但是，如果服药病人的测试结果好得多，情况就大不相同了。假定在测试过程中，有5名服用安慰剂的病人死亡，而服用新药的病人中无人死亡。如果零假设正确，那么两类病人的存活概率应当都是90%。但是，在这种情况下，服用新药的50名病人全部存活的可能性极小。第一个服药病人的存活概率为90%，前两名病人都存活的概率是90%的90%，即81%。如果我们希望第三名病人也存活下来，这种情况发生的概率就是81%的90%，即72.9%。每多一名病人存活，概率就会降低，到最后，所有50名病人全部存活的概率会非常小，这个概率是：
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0.9×0.9×0.9×……×0.9×0.9=0.005 15……
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在零假设前提下，出现这种理想结果的概率约为1/200。可能性这样小，说服力就要大得多。如果我说自己可以用超能力让太阳升起，结果太阳升起来了，此时，你不会认为我有超能力；但是，如果我说自己可以让太阳不升起来，结果太阳真的没有出现，这就说明我得到了一个在零假设前提下极为不可能的结果。在这种情况下，你可得考虑考虑了。