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所有的正数在用素数的乘积表示时只有一种表示方法。例如，60包含两个2、一个3和一个5，因为60=2×2×3×5。（正是出于这个原因，我们认为1不是素数，尽管之前有数学家认为1是素数。如果把1视为素数，60可以表示成2×2×3×5、1×2×2×3×5与1×1×2×2×3×5等形式，就会破坏唯一性。）那么素数自身是什么情况呢？这个规则同样适用。例如，13这个素数就是一个单一素数（即13自身）的乘积。那么1呢？我们已经将1从素数中剔除，1又如何用素数的乘积表示呢？答案很简单：1是零个素数的乘积。
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有人会对此提出疑问：“用零个素数的乘积表示的数为什么是1而不是0呢？”下面这个解释有点儿复杂：我们先求出某些素数（例如2与3）的乘积，然后用所有作为乘数的素数来除这个乘积，得到的应该是零个素数的乘积。6被2×3除的结果是1，而不是0。（此外，零个数字的和的确是0。）
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素数是数论的“原子”，是构成所有数字且不可整除的基本存在。因为这个特点，从数论形成以来，人们一直在深入地研究素数。数论中最先得到证明的定理之一就是欧几里得定理。欧几里得定理告诉我们，无论我们把数轴延伸得多长，素数都是无穷多的。
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数学家们总在不断进取，他们绝不会止步于一个简单的无穷性论断，这是因为无穷性也各不相同。2的幂数有无穷多个，但是在数轴上表示出来时却显得非常稀少。在前1 000个数字中，2的幂数只有10个：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512。
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偶数的个数也是无穷的，但它们在数轴上却极为常见：前1 000个数字中正好有500个偶数。很明显，在前N个数字中，大约有N/2个偶数。
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研究表明，素数的个数处于中游水平，比2的幂数更为常见，但是比偶数少。在前N个数字中，大约有N/logN个素数，这就是素数定理。19世纪末，数论学家雅克·阿达玛（Jacques Hadamard）与德·拉·瓦莱·普森（Charles-Jean de la Va l lée Pou s sin）完成了该定理的证明。
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我注意到几乎没有人了解“对数”这个概念，因此在这里稍加说明。正数N的对数记作logN，表示数字N的位数。
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等一等，真的如此吗？
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这个说法不完全对。我们把数字的位数称作“假对数”（fake logarithm，简称fl ogarithm），这非常接近于对数的真实含义，可以帮助我们了解对数在上述语境中的意思。假对数（也是对数）是一种增长很慢的函数：1 000的假对数是4，100万是1 000的1 000倍，其假对数是7，而10亿的假对数不过是10。[3]
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素数是不是随机数？
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素数定理指出，在前N个整数中，其中大约有1/logN的整数为素数。而且，随着数字变大，素数会越来越稀少，但是减少的速度很慢。与10位的随机数相比，20位的随机数是素数的概率要小一半。
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人们自然会猜想：某个类型的数字越常见，该类型数字的间距就越小。在看到一个偶数之后，再向前不超过两个数字就会看到下一个偶数。事实上，偶数之间的距离总是正好等于2。而2的幂数则有所不同，相邻两个2的幂数之间的距离呈指数级增长，在沿着该数列向前时，彼此间的距离只会越来越大，而绝不会变小。例如，在16之后，两个2的幂数之间的距离再也不会小于或等于15。
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这两种情况都易于理解，但是相邻素数之间的距离问题理解起来则难得多，即使在张益唐取得突破之后，仍有很多问题没有解决。
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不过，由于我们可以把素数看成随机数，这个视角对我们有显著的帮助，因此我们知道会得到什么样的结果。这个视角之所以有用，原因在于这是一个大错特错的视角。素数并不是随机数，素数的所有特点都不是我们可以随意判定的，也不是碰巧如此。但是，实际情况恰好相反：我们认为素数是宇宙的某个无法改变的特征，然后把它刻录成金唱片向星际空间播放，向外星人证明我们不是傻瓜。
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素数不是随机数，但从很多方面看它们似乎就是随机数。例如，我们用3除一个随机整数，余数是0、1或者2，而且三种情况出现的频次完全相同。如果用3除一个大的素数，不可能正好除尽，否则，这个所谓的素数如果可以被3整除，就说明它根本不是素数。但是，狄利克雷（Dirichlet）提出的一个古老定理认为，余数1与余数2出现的概率相同，这正好是随机数的一个特点。从“被3除的余数”这个角度看，素数很像随机数。
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那么，相邻素数之间的距离呢？我们也许会认为，随着数字变大，素数越来越稀少，它们彼此之间的距离也会越来越大。平均地看，情况的确如此。但是，张益唐的证明表明，彼此间的距离不超过7 000万的素数对是无穷的。换言之，相邻素数之间的距离在7 000万以内的有无穷多例。这就是“有界距离”猜想。
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为什么是7 000万呢？因为这是张益唐能够证明的极限数字。事实上，他的论文发表之后，引发了一个研究热潮，世界各地的数学家都加入了“博学者计划”——一种狂热的在线数学基布兹（kibbutz）[4]，协同合作，希望在张益唐的研究基础之上，进一步缩小这个有界距离。2013年7月，一个合作团体证明，彼此间的距离不大于5 414的素数对有无穷多个。11月，刚刚在蒙特利尔大学拿到博士学位的詹姆斯·梅纳德（James Maynard）将这个距离缩小到了600。“博学者计划”迅速将梅纳德的敏锐发现与其他计划参与者的理解加以归纳。在大家看到本书时，这个距离肯定又缩小了。
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乍一看，有界距离似乎是一个神奇的现象。如果素数的距离有越来越大的趋势，那么，为什么有那么多对彼此相近的素数呢？素数之间存在某种引力吗？
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当然不是这么回事儿。如果我们让数字随意分布，很有可能某些数字两两之间的位置正好非常接近，就像平面上随机分布的点会形成明显的组群一样。
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如果素数具有随机数的特点，不难估计我们将准确地观察到张益唐的研究结果，而且我们还有可能观察到很多素数对的相互距离只有2，如3和5、11和13。这样的素数对就是“孪生素数”，但它们的无穷性还是一种推测，有待进一步证明。
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（下文是一个简短的计算过程。如果你们看不懂，可以直接从“孪生素数的数量如此庞大……”那一段往下看。）
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别忘了，素数定理告诉我们，在前N个数字当中，有N/logN个数字是素数。如果这些数字是随机分布的，每个数字n是素数的概率约为1/logN，数字n与n+2同为素数的概率就是1/logN×1/logN=1/logN2。我们有可能观察到多少对距离为2的孪生素数呢？在我们所研究的范围内，大约有N对（n，n+2），每一对数字是孪生素数的概率为（1/logN）2，因此我们有可能发现N/（logN）2对孪生素数。
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但是，这里的随机性并不十分纯粹，会产生一些微弱的影响，不过数论学家知道该如何应对。我们需要关注的重点是，n为素数与n+1为素数，并不是相互独立的两个事件。n为素数时，n+2是素数的可能性会加大，因此，如果用1/logN×1/logN来表示两者同时成立的概率，就不完全正确。（一种观点认为：如果n是素数且大于2，那么n必然是奇数，因此n+2也是奇数，于是，n+2是素数的可能性更大。）哈代与他的终生合作伙伴利托伍德（J. E. Littlewood）一起，在考虑到这些依存关系的前提下，完成了一个更完善的预测，认为孪生素数的数量实际上比N/（logN）2大32%。根据这种更准确的估计，我们可以预测小于1024的孪生素数的数量应该为1 100 000 000 000左右，而实际数字是1 177 209 242 304，两者非常接近。
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孪生素数的数量如此庞大，不过，这个情况并没有让数论学家感到意外。这不是因为我们认为素数中隐藏着某种神奇的结构，而是因为我们认为这样的神奇结构并不存在，我们猜测素数是随机分布的。如果孪生素数猜想是错误的，孪生素数的存在就是一个奇迹，因为我们需要某种至今为止仍然不为我们所知的力量将这些素数分开。
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我们无须过多了解就会发现，有很多数论方面的著名猜想都是这种情况。哥德巴赫猜想就是一个例子，它认为所有大于2的偶数都是两个素数的和。如果素数表现得像随机数，哥德巴赫猜想就必然是正确的。认为存在任意长的素数等差数列的猜想也同样如此，本·格林（Ben Green）与陶哲轩（Terry Tao）完成了该猜想的证明，陶哲轩还因此获得了2004年的菲尔兹奖。
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