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因此，每张彩票的价值期望值是：
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50 000美元/39 000+2 385美元/800+60美元/47=5.53美元
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投入2美元产生3.5美元利润的投资，是不容错过的。
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当然，如果某个家伙幸运地中了大奖，那么，对于其他玩家来说，这种游戏又被剥去了华丽的外衣，变成呆头呆脑的大南瓜了。但是，购买“Cash WinFall”彩票的人一直很少，出现这种结果的可能性也很小。该游戏共有45次奖金向下分配的情况，其中只有1次有一位玩家中了全部6个号码，挡住了奖金持续不断向下分配的势头。
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需要澄清一点：上述计算并不表示2美元的彩票肯定能帮你赢钱。恰恰相反，在奖金向下分配时购买的“Cash WinFall”彩票，与其他时间购买的彩票一样，很有可能让你赔钱。期望值并不是你期望实现的价值，不过，在累积奖金向下分配时，各奖项的金额（如果你真的中奖，尽管这种可能性很小）会大大增加。期望值的魅力在于，它告诉人们买100张、1 000张或者10 000张彩票时，单注平均价值接近5.53美元。任何彩票都可能毫无价值，但是，如果你购买了1 000张，那么几乎可以肯定的是，你不仅能把买彩票的钱挣回来，还会有不错的收益。
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谁会一次性购买1 000张彩票呢？
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麻省理工学院的一群大学生。
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我之所以可以精确地告诉大家2005年2月7日的“Cash WinFall”彩票中奖数据，是因为2012年7月，马萨诸塞州检察官格雷戈里·沙利文（Gregory Sullivan）向州政府提交了一份关于“Cash WinFall”彩票事件的报告，其中详尽地记录了这些数据。坦白地说，沙利文的描述令人震惊，同时会让人不由自主地联想：是否有人拥有将该报告拍成电影的权利？我敢肯定，令人们产生这种想法的州政府财政监控报告在历史上仅此一份。
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2月7日这一天尤为特别，是有原因的。从事一项独立研究项目的麻省理工学院大四学生詹姆斯·哈维（James Harvey），在比较该州各种彩票游戏的优缺点时发现，马萨诸塞州在不经意间创造了一个暴利投资项目，任何有一定数学知识的人都可以从中牟利。2月7日是哈维发现这个秘密之后的第一个累积奖金向下分配日。他召集了一群朋友（在麻省理工学院召集一帮善于计算期望值的大学生，并不是一件难事），购买了1 000张彩票。不出所料，其中一张彩票中了概率为1/800的奖项，哈维这群人得到了2 000多美元的奖金。他们还有很多彩票中了“6中3”奖项，他们获得的奖金总额大约是最初投资额的三倍。
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哈维及其投资合伙人自然不会就此罢手，同时，他也没有足够的时间去完成那个独立研究项目，他至少没有凭此拿到课程学分。实际上，他的研究项目迅速演变成了一桩发展势头迅猛的生意。那年夏天，哈维及其合伙人购买了几万张彩票，在剑桥市晨星超市购买大量彩票的大学生就是他们中的一个。尽管他们的这项活动不是漫无目的的行为，但是他们把自己的这个小团队称作“随机策略”（Random Strategies）团队，暗指麻省理工学院的本科生宿舍“兰登厅”（Random Hall）。[1]当初，哈维就是在兰登厅草拟了通过“Cash WinFall”赚钱的计划。
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除了麻省理工学院的大学生以外，还有一些人在利用“Cash WinFall”赚钱，并且至少形成了两个博彩团队。美国东北大学的医学研究人员张英（音）博士建立了“张博士彩票俱乐部”，昆西的彩票销售出现井喷现象就是这个俱乐部造成的。这群人曾在每次累积奖金向下分配时都购买30万美元的彩票，2006年，张博士放弃了医学研究，全身心地投入“Cash WinFall”博彩活动。
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此外，还有一个博彩团队，它的领导人是杰拉德·塞尔比（Gerald Selbee），一位70多岁的拥有数学学士学位的老人。塞尔比住在密歇根，这里是“WinFall”彩票的发源地。他的这个团队有32名成员，其中大多是他的亲戚。在2005年密歇根停止“WinFall”游戏之前的两年左右的时间里，他们一直在那里参与这种博彩活动。2005年8月，塞尔比发现这种送钱上门的活动又开始在美国东部上演，于是他断然采取了行动，与妻子马乔丽（Marjorie）驱车前往马萨诸塞州西部的迪尔菲尔德市，开展了在那里的第一次博彩活动。他们购买了6万张“Cash WinFall”彩票，获得了超过5万美元的收益。塞尔比利用在密歇根积累的博彩经验，在购买彩票之余，还进行了另外一项活动，以赚取更多的利润。马萨诸塞州的商场在销售彩票时会收取5%的佣金，塞尔比与一家商场达成协议，他在该商场一次性购买几十万美元的彩票，作为交换，商场与他均分5%的佣金。凭此一项，塞尔比的团队在每次累积奖金向下分配时就可以多赚几千美元。
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你无须拥有麻省理工学院的学位，也能明白彩票大户的大量涌现会对彩票活动产生什么影响。别忘了，向下分配的奖金之所以如此丰厚，是因为能中大奖的玩家非常少。到2007年，在每次累积奖金向下分配之后，彩票的销售量都会达到100万张甚至更多，而其中大多数都被这三个博彩团队买走了。“6中4”的单注奖金达到2 300多美元的日子早已一去不复返了。如果有150万人购买了彩票，“6中4”的中奖概率为1/800，那么通常会有接近2 000名中奖者，共同分配140万美元的奖金，因此，单注奖金就变成了不到800美元。
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彩票大户参与“Cash WinFall”彩票游戏并有所斩获的可能性不难估算，关键是要从彩票本身这个视角加以考虑。在累积奖金向下分配时，州政府会从累积奖金中拿出（至少）200万美元作为小额奖项的奖金。比如，有150万人冲着向下分配的奖金购买彩票，那么，彩票收益就会多出300万美元。其中的40%，即120万美元，进入了州政府的保险箱，剩余的180万美元则是奖金，在日落之前被玩家瓜分。因此，政府当天收入300万美元，支出380万美元（其中200万美元是累积奖金，180万美元来自当天的彩票销售额）。无论何时，只要政府赚钱了，玩家的平均收益就是负数，反之亦然。因此，这一天是参与这种游戏的绝佳时机，玩家总共可以从政府那里赚到80万美元。
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如果玩家购买了350万张彩票，情况就完全不同了。此时，彩票中心会留下280万美元作为自己的收益，把剩余的420万美元作为奖金支付给玩家。再加上奖池中已有的200万美元，奖金总额达到620万美元，低于政府700万美元的收益。换言之，尽管向下分配的奖金十分丰厚，但只要购买彩票的人足够多，政府最终一定会赚钱。出现这种结果时，政府会非常高兴。
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收支平衡点是向下分配的40%的日收益与奖池中已有的200万美元（不了解其中原理或者过于热爱冒险的玩家，在非向下分配日参与这种游戏时所贡献的钱）正好相等，也就是彩票销售额为500万美元，销售量为250万张。当“Cash WinFall”的销售量超过这个数字时，就不宜参与。但是，只要销售量低于这个数字（“WinFall”彩票的销售量从未超出这个数字），玩家就可以赚钱。
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实际上，我们在这里应用的是一种非常有效而且是常识性的知识，叫作“期望值的相加性”（additivity of expected value）。假定我拥有麦当劳的特许经营权和一家咖啡店，麦当劳门店年均利润的期望值为10万美元，咖啡店年均利润的期望值是5万美元。当然，利润每年都会有起伏。期望值的意思是，从长远看，麦当劳门店平均每年可以赚大约10万美元，咖啡店的年均利润为5万美元。
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相加性表明，总体来讲，销售“巨无霸”汉堡与摩卡奇诺咖啡的年均总利润为15万美元，即两种生意的年均利润期望值之和。
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期望值的相加性：两个事物的期望值之和，即第一个事物的期望值加上第二个事物的期望值。
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就像我们用公式a×b=b×a来表示乘法交换律（比如，每排有X个小洞，一共有Y排，与每排有Y个小洞，一共有X列相比，小洞的总数相同），数学家也热衷于用公式表示上述过程。因此，如果X与Y是两个数字，我们不清楚它们的值分别是多少，且E（X）表示“X的期望值”，那么期望值的相加性就可以表示为：
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E（X+Y）=E（X）+E（Y）
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下面，我向大家介绍期望值相加性在彩票分析中的应用。每次开奖时，所有彩票的总价值是政府发放的奖金总额。因此，总价值不具有任何不确定性，在上面第一个例子中总价值就是向下分配的奖金总额，即380万美元。肯定到手的380万美元，它的期望值就是我们所期望的价值，即380万美元。
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在这个例子中，向下分配日当天有150万个玩家参与游戏。根据期望值的相加性，150万张彩票的期望值总和就是彩票总价值的期望值，即380万美元。但是，每张彩票价值相同（至少在我们知道中奖号码之前如此）。因此，我们把150万个相同的数字相加，和为380万美元，那么这个数字只能是2.53美元。也就是说，我们对这张售价2美元彩票的利润期望值是0.53美元。这个利润已经超过了赌注的25%，对于被大家视为骗钱的彩票游戏而言，这样的利润相当可观。
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相加性原理十分直观，因此我们很容易认为这是显而易见的事实。但是，它与终身年金保险的定价方法一样，其实并不是那么显而易见。为了说明这个问题，我们用其他概念来取代期望值，就会发现我们往往会得出乱七八糟的结果。例如：
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一连串事物的和的最可能的值就是各事物最可能的值的和。
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