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在这个例子中，向下分配日当天有150万个玩家参与游戏。根据期望值的相加性，150万张彩票的期望值总和就是彩票总价值的期望值，即380万美元。但是，每张彩票价值相同（至少在我们知道中奖号码之前如此）。因此，我们把150万个相同的数字相加，和为380万美元，那么这个数字只能是2.53美元。也就是说，我们对这张售价2美元彩票的利润期望值是0.53美元。这个利润已经超过了赌注的25%，对于被大家视为骗钱的彩票游戏而言，这样的利润相当可观。
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相加性原理十分直观，因此我们很容易认为这是显而易见的事实。但是，它与终身年金保险的定价方法一样，其实并不是那么显而易见。为了说明这个问题，我们用其他概念来取代期望值，就会发现我们往往会得出乱七八糟的结果。例如：
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一连串事物的和的最可能的值就是各事物最可能的值的和。
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这就大错特错了。假定我在我的三个孩子中随机选择一个人继承财产，每个孩子最可能分得的财产为零，因为他有2/3的概率不会被我选中。但是，三个人得到的财产总额的最可能的值（其实，只有一个可能值）却是我的所有财产。
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布封的硬币、缝衣针与面条问题
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大学生与彩票的故事讲到这里，我们需要暂停一下，因为谈及期望值的相加性时，我必须向大家展示我知道的最能说明问题的证据，它的核心正是期望值的相加性。
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我首先要向大家介绍一种叫作“franc-carreau”（“franc-carreau”的大致意思是“正好落在正方形之中”。游戏中使用的硬币不是法郎，因为当时流通的货币不是法郎，而是埃居）的游戏。这个游戏与热那亚彩票一样，都会让我们想起无所不赌的古代。只要有一枚硬币和由方砖铺成的地板就可以玩“franc-carreau”游戏。人们把硬币扔到地上，然后押下赌注，猜硬币是完全落在一块砖上还是骑在砖缝上。
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布封（Georges-Louis LeClerc， Comte de Buffon）是勃艮第的一位地方贵族，学术造诣很高。他上的是法学院，可能是想像他的父亲一样当一名地方行政官，但是，在拿到学位之后，他立刻将法学抛到脑后，迷上了科学。1733年，那时他才27岁，但他已经是巴黎皇家科学院的成员了。
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布封后来成了一名著名的博物学家，完成了44卷的巨著《自然史》（Natural History）。他在这本书中提出了一个理论，希望能像牛顿解释运动与力的理论那样，以普适、不费力的方式解释生命的起源。年轻的时候，布封与瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer）的一次短暂会面以及之后长期的书信往来，让他对理论数学产生了兴趣，并以数学家的身份进入巴黎皇家科学院。
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在提交给巴黎皇家科学院的论文中，布封将几何学与概率论巧妙地结合在一起，而此前人们一直认为这两个数学领域之间没有联系。但是，他研究的对象不是行星沿轨道运行的方式或者大国经济这些大问题，而是低俗的“franc-carrearu”游戏。在论文中，布封提出了一个问题：硬币完全落在一块砖上的概率是多少？砖的面积多大时，这个游戏对双方来说才是公平的？
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下面我向大家介绍布封的方法。如果硬币的半径是r，方砖的边长为L，那么，只要硬币的圆心落在一个边长为L–2r的小正方形的外面，硬币就会接触到砖缝。
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小正方形的面积是（L–2r）2，大正方形的面积是L2，因此，如果我们赌这枚硬币“完全落在大正方形之中”，那么我们获胜的概率就是（L–2r）2/L2。要使游戏公平，这一概率必须是1/2，即：
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（L–2r）2/L2=1/2
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布封解出了这个方程式（如果学过这方面的知识，我们也能解开这个方程式），他发现只有当砖的边长是硬币半径的倍，也就是接近7倍时，游戏才是公平的。将概率论与几何图形相结合，是一种新颖的想法，具有研究价值。但是，这样做的难度比较小，布封知道单凭这个发现是不可能进入巴黎皇家科学院的。于是，他继续深入研究：“但是，如果扔到空中的不是埃居这样的圆形物体，而是其他形状的物体，例如方形的西班牙皮斯托儿金币，或者一根缝衣针、一根短木棒等，解决这个问题时需要的几何知识就会多一些。”
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当然，这是一个保守的说法。缝衣针问题，是时至今日布封的名字仍然没有被数学界忘记的原因之一。下面，我把布封的话用更准确的语言重新解释一遍：
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布封的投针问题：假定地面是用细长木板条铺成的硬木地面，你手上正好有一根缝衣针，而且针的长度正好等于木板条的宽度。把缝衣针扔到地面上，它骑在木板条缝上的概率是多少？
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如果我们扔到地面上的是埃居，那么路易斯四世的脸是朝上还是朝下，对我们都没有任何影响。圆从任何角度看都是一样的，因此，硬币骑缝的概率并不取决于它的朝向。
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但是，布封使用的缝衣针却不同。如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎平行关系，那么它骑缝的概率会非常低。
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如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎垂直关系，我们几乎可以肯定缝衣针会骑在木板条缝上。
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“Franc-carreau”游戏具有高度的对称性，用术语来讲，这个游戏的结果始终处于轮换状态。但在投针问题中，这种对称性被破坏了，因此游戏的难度大幅度增加。我们不仅需要关注缝衣针中心点的位置，还要关注缝衣针的朝向。
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