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但是，问题出现了。选择“红球与非红球”意味着我们肯定能得到100美元，选择“黑球与非黑球”也是如此！如果两者毫无区别，为什么我们会觉得一个优于另一个呢？
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对于支持期望效用理论的人而言，埃尔斯伯格的实验结果似乎非常奇怪。每种下注方案都肯定有一定数量的效用度，如果红球的效用大于黑球，非红球的效用大于非黑球，那么“红球与非红球”的效用肯定大于“黑球与非黑球”，但实际上两者是相等的。如果我们选择相信期望效用理论，那么我们必然会认为参与埃尔斯伯格实验的那些人在选择上出错了。他们要么不善于计算，要么因为注意力不集中而没有听清问题，要么是疯子。由于埃尔斯伯格询问的实验对象都是知名的经济学家与决策论研究人员，因此这个结果就演变成了现在摆在人们面前的这个难题。
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埃尔斯伯格认为，这个悖论的答案非常简单：期望效用理论是不正确的。后来，唐纳德·拉姆斯菲尔德说，有的未知信息是已知的，有的未知信息是未知的，应该用不同的方法去处理它们。红球属于“已知的未知信息”（known unknown），因为我们并不知道会拿到哪种颜色的球，但是当我们希望拿到这种颜色的球时，我们可以定量分析成功的概率。而黑球则不同，对于玩家来说它属于“未知的未知信息”（unknown unknown），因为我们不仅不确定可以拿到黑球，而且根本无法计算出拿到黑球的概率。在决策理论文献中，前者被称为“风险”（risk），后者则被称作“不确定性”（uncertainty）。风险可以进行定量分析，但是对于不确定性，埃尔斯伯格认为无法使用形式主义的数学分析方法，至少不可以使用兰德公司青睐的那种数学分析方法。
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效用理论具有令人难以置信的效用，它可以处理这两种未知信息。在很多情境中，例如彩票游戏，我们面对的疑团是各种风险，其发生概率非常明确；但是在更多情况下，展现在我们眼前的却是“未知的未知信息”，不过这类未知信息的作用并不是很大。我们可以看到，在数学方法特有的推动作用下，关于这类信息的研究正在向科学领域靠拢。伯努利与冯·诺依曼等数学家构建了形式主义，为探究这些到目前为止人们缺乏了解的领域指明方向。像埃尔斯伯格这样数学思维敏捷的科学家则刻苦钻研，以期了解其中的局限性，在可能的时候提出完善与改进的措施；如果无法改进，他们就会发出措辞严厉的警告。
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埃尔斯伯格的论文不像技术性很强的经济学论文，其文风生动活泼。在结尾段落，他评价了他的实验对象：“依据贝叶斯推理或者萨维奇公理做出的预测是错误的，根据这些预测做出的选择也是不正确的。他们蓄意违背公理，毫无歉意，而且他们似乎认为这是明智的行为。显然，他们错了，难道不是吗？”
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“冷战”时期，决策论与博弈论在华盛顿与兰德公司备受推崇。当时人们认为，既然原子弹在上一次世界大战中帮助我们取得了胜利，决策论与博弈论这两个科研工具也会帮助我们打赢下一次世界大战。这两个工具在应用方面可能的确存在某种局限性，尤其当无先例可循而无法估算概率（比如人类遭受核打击瞬间化为放射性灰尘的概率）时更是如此，这个特点至少在埃尔斯伯格看来会有点儿麻烦。是不是数学上的分歧导致埃尔斯伯格对军事机构心存疑虑呢？
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[1]达科特是古时在大部分欧洲国家流通的金币。——译者注
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[2]请注意，根据这种直觉推理求无穷级数的和是非常冒险的做法。在本例中，这个方法是可行的，但是在求更复杂的无穷级数的和时，尤其当各项有正有负时，常常会导致严重的错误。
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[3]1立方英寻≈6.118立方米。——编者注
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第13章 祝你下一张彩票中大奖！
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效用这个概念有助于我们了解“Cash WinFall”彩票游戏的令人疑惑之处。杰拉德·塞尔比博彩团队购买大量彩票的方法是，利用电脑上的“快速选号器”（Quic Pic），随机选取彩票号码。而哈维的“随机策略”团队则是自己动手选号，这就意味着他们需要手工填写几十万张彩票，然后逐一输入便利店的计算机中。后者的工作量很大，而且极其枯燥乏味。
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中奖号码完全是随机产生的，因此每张彩票的中奖概率是相同的。总体来讲，塞尔比利用快速选号器选出的10万组彩票号码，与哈维及卢玉然自己手动选号产生的10万组号码，为各自团队赢得的奖金应该一样多。从效用的角度来看，“随机策略”团队的大量艰辛工作并没有得到额外的回报，这是为什么呢？
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我们考虑一个与其性质相同但更简单的例子。给你5万美元，或者让你各有50%的机会输掉10万美元和赢得20万美元，我们会选择哪一种方案呢？第二种方案的期望值为：
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1/2×（–100 000）+1/2×200 000=50 000美元
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结果与第一种方案相同，因此我们可以认为这两种方案没有多大区别。如果多次选择第二种方案，那么几乎可以肯定，你赢得20万美元与输掉10万美元的次数会各占一半。假设输赢交替出现，那么两次之后，你会赢20万美元、输10万美元，净赚10万美元；4次之后净赚20万美元；6次之后净赚30万美元，以此类推。平均每次的利润是5万美元，这与第一种方案的结果一模一样。
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现在，假设你不是经济学教科书应用题中的人物，而是一个手头没有10万美元的真实的人。那么，在第一次赌输之后，赌注登记人（假设这个赌注登记人是一个身材魁梧、脾气暴躁、力大无比的光头佬）找你要钱时，你可不可以告诉他：“请稍等，根据期望值计算结果，我继续玩下去就很可能有钱给你了？”尽管从数学角度讲确实如此，但在现实生活中这显然是行不通的。
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如果你是一个真实世界中的人，你应该选择第一种方案。
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上述推理过程可以依据期望效用理论清楚地表现出来。如果我有一家资金无穷多的公司，损失10万美元可能没什么大不了的（假设它的价值为–100个效用度），而赢得20万美元会给我带来200个效用度。在这种情况下，美元与效用度之间呈现出完美的线性关系，1个效用度就代表1 000美元。
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但是，如果我是一个积蓄不多的人，计算方式就会截然不同。赢取20万美元对公司来说意义不大，但却会改变我的生活，因此，它对我的价值更大，比如，它值400个效用度。但是，因为输掉10万美元不会让我的银行账户见底，于是我吞下了脾气暴躁的光头佬抛出的诱饵，结果输掉了赌注。这不仅很糟糕，还可能会对我造成严重的伤害。我们可以给这个结果赋予–1 000个效用度，此时，第二种方案的期望效用为：
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1/2×（–1 000）+1/2×400 = –300
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期望效用为负值，意味着我不仅没有拿到唾手可得的5万美元，而且还要承受更糟糕的结果。50%的一败涂地的后果是我们根本无法承受的，如果没有赢大钱的希望，我们是不会选择第二种方案的。
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以上，我们运用数学方法证明了一个我们已知的法则：钱越多，你所能承受的风险也越大。第二种方案就像冒险的股票投资一样，收益的期望值为正值。如果你多次进行此类投资，可能某几次会输钱，但是从长远看，你将会成为赢家。有钱人有足够的资金储备，可以承受偶尔失利造成的损失，并且通过继续投资，最终变得更有钱。
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即使资产不足以承受损失，冒险的投资行为也并非完全不可为，前提条件是你得有备用计划。如果某个市场行为有99%的概率赚100万美元，有1%的概率赔5 000万美元，那么你是否会采取行动呢？这个市场行为的期望值为正值，似乎是一个很好的投资策略。但是，一想到有遭受巨额损失的风险，而且小概率事件特别难以把握，你也有可能会畏缩不前。专业人士把这种行为称作“火中取栗”，在大多数情况下，可能会小赚一笔，但是稍有疏忽就会倾家荡产。
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