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如果大奖号码为1、3、7，哈维就中了3个二等奖：135、167和347。如果大奖号码是3、5、6呢？哈维还是中了3个二等奖：135、236和456。以此类推，我们很快就会发现他选的这些号码组合有一个非常值得关注的特性：他要么中了大奖，要么正好中了3个二等奖。7张彩票中有一张中大奖的概率是1/5，即20%。因此，他的中奖情况为：
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没中二等奖的概率为20%;
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有3张彩票中二等奖的概率为80%。
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哈维中二等奖的彩票数量期望值为：
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20%×0+80%×3=2.4
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结果与塞尔比的相同，这是必然的，但是其方差却比塞尔比的小得多。由于哈维对自己能中二等奖的彩票数量比较确定，因此他的投资组合对潜在合伙人的吸引力非常大。特别需要注意的是，如果哈维没有中3个二等奖，他就会中大奖。这说明哈维的策略可以保证他的彩票中奖金额比较可观，而这是塞尔比等使用快速选号器的玩家做不到的。自己选号可以在保证中奖概率的同时规避风险，但其前提条件是选对号码。
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怎样才能选对号码呢？这可是一个价值连城的问题啊！（至少这一次是真的。）
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你可以尝试用计算机来完成这项工作。哈维和他的合伙人都是麻省理工学院的学生，他们不费力气就能写出几十个代码行。为什么不编写一个程序，把“Cash WinFall”彩票的所有号码组合都筛选一遍，找出方差最小的选号策略呢？
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这样的程序肯定不难编写，但问题是，在编写的程序处理完这些数据的冰山一角之前，宇宙中的所有物质与能量可能早已进入热寂状态了。从现代计算机的性能来看，30万并不是一个非常大的数字，但是，计划编写的程序处理的对象不是30万组彩票号码，而是从1 000万组“Cash WinFall”彩票号码中选取30万组可能构成的集合。那么，一共有多少种可能的集合呢？这个数字大于30万，大于现存于世或者曾经存在的次原子微粒的数量，而且大得多，是我们闻所未闻的数字。
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摆在我们面前的是在计算机科学中被称作“组合爆炸”（the combinatorial explosion）的可怕现象。如果你希望在美国50个州中为自己的公司选择最有利的驻地，这个目的不难实现，你只需要比较这50个州就可以了。但是，如果你希望找出穿行这50个州而且效率最高的路线，也就是所谓的“旅行商问题”（traveling salesman problem），就会发生组合爆炸，你所面临的困难将完全不在之前的数量级上，可供选择的路线一共有30千那由他（vigintillion）[2]条。
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这下，组合爆炸真的发生了！
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因此，我们必须另辟蹊径，找到可以减小方差的选号方法。如果我告诉大家，人们借助平面几何知识解决了这个难题，你们相信吗？
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平行线也可以相交
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平行线永不相交，这是平行线的基本特征。
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但是，平行线有时似乎也会相交。想象一条铁道在一览无余的平地上向前延伸，你的视线也跟着向前移动，这时你会发现，随着距离地平线越来越近，那两根铁轨似乎逐渐融为一体（如果希望在头脑中形成一幅生动逼真的画面，我们可以一边听着乡村音乐一边想象，这样效果会更好），这就是“透视现象”（phenomenon of perspective）。我们的视野是二维的，如果我们希望在这个二维视野中描绘三维世界，那么有些东西必然会丢失。
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最早发现这个现象的人是画家，他们不仅需要了解事物真实的形态及其在人们眼中的形态，还需要了解两者之间的不同之处。在意大利文艺复兴初期，画家知道了透视这个概念，视觉表现方式从此发生改变，欧洲的画作再也不像孩子们在冰箱门上的涂鸦之作，人们看一眼就知道他们画的是什么。
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艺术史学家就菲利波·布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi）等佛罗伦萨的艺术家到底是如何形成透视这种现代绘画理论的问题，进行过上百次争论。本书对这个问题就不再赘述了，我们现在可以确定的是，这个突破性进展使人们将数学与光学方面的新认识应用到对美的追求上。比如，人们意识到影像是光线照在物体上反射后进入人眼形成的。这一认知在现代人看来非常浅显，但当时的人却不是很清楚。以柏拉图为代表的众多古代科学家认为，视觉与发源于眼球的某种火焰有关，这个观点至少可以追溯至可罗顿的阿尔克迈翁（Alcmaeon），阿尔克迈翁是我们在第2章里讨论过的怪异的毕达哥拉斯的信徒之一。他认为眼睛肯定能发光，否则“光幻视”（phosphene）的光源是什么？所谓光幻视，就是闭上眼睛，然后用手挤压眼球，就能看到有金星闪现。详细地提出反射光视觉理论的人，是11世纪的开罗数学家海塞姆（Haytham）。海塞姆的光学著作《光学书》（Kitab alManazir）被翻译成拉丁语，并且很快就被希望更系统地了解视觉与所见物体之间关系的哲学家及艺术家奉为圭臬。该书的主要观点是，画布上的P代表三维空间中的直线。根据欧几里得的几何学原理，我们知道经过两个定点的直线只有一条。因此，P与眼睛之间可以形成一条直线，这条直线上的所有点在画中的位置就是P。
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现在，假设你是布鲁内莱斯基，正站在开阔的大草原上，在眼前的画布上画那条铁道。铁道有两条铁轨，我们分别称之为R1和R2，每条铁轨呈现在画布上就是一条直线。画布上的点与空间中的直线相对应，同样，画布上的直线对应一个平面。与R1相对应的平面P1是由铁轨R1上所有点与眼睛的连线构成的。同样，与R2相对应的平面P2是眼睛与R2上各点的连线构成的。这两个平面与画布分别相交于一条直线，我们把这两条直线分别叫作L1和L2。
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布鲁内莱斯基平面
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两条铁轨相互平行，但那两个平面并不是平行平面，这是为什么呢？因为这两个平面在你的眼中相交，而平行平面是永远不会相交的。但是，不平行的平面必然相交，它们的交线是一条直线。在本例中，交线是一条水平线，从眼睛开始，沿着与铁轨平行的方向延伸。由于这条交线是水平的，因此不会与大草原相交，而是向着地平线延伸，但是永远不会与地面接触。好了，好戏就要上演了。这条交线与画布相交，交点为V。由于V位于平面P1上，因此必然位于P1与画布的交线L1上。由于V也位于P2上，因此必然位于L2上。换言之，V就是画作中铁轨在画布上的交点。事实上，大草原上所有与铁轨平行的直路在画布上看起来都像经过V的直线。V就是所谓的“消失点”（vanishing point），即与铁道平行的所有直线在画作中必然经过的点。每一对平行轨道都能在画布上形成某个消失点，消失点的位置取决于平行线的延伸方向。（唯一例外的是平行于画布的各对直线，例如铁轨之间的枕木，它们在画作中看上去仍然是相互平行的。）
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布鲁内莱斯基在上述分析中完成的概念转换是射影几何学的核心内容。看到风景画中的点，我们就会想到通过我们眼睛的直线。乍一看，似乎仅仅是语义上的区别；地面上的各点可以而且只能形成一条通过该点与我们眼睛的直线，因此，我们想到的是点或者直线，会有什么不同呢？两者的区别就在于，通过我们眼睛的直线比地面上的点多，因为水平直线并不与地面相交。这些水平直线对应画布上的消失点，也就是铁轨相交的位置。你可能会把这样的直线看成沿铁道延伸方向的地面上一个无穷远的点，数学家把这样的点叫作“无穷远点”（point at infi nity）。如果你把欧几里得几何学中的平面复制到无穷远点，就会得到“射影平面”（projective plane），参见下图。
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射影平面
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