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布鲁内莱斯基平面
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两条铁轨相互平行，但那两个平面并不是平行平面，这是为什么呢？因为这两个平面在你的眼中相交，而平行平面是永远不会相交的。但是，不平行的平面必然相交，它们的交线是一条直线。在本例中，交线是一条水平线，从眼睛开始，沿着与铁轨平行的方向延伸。由于这条交线是水平的，因此不会与大草原相交，而是向着地平线延伸，但是永远不会与地面接触。好了，好戏就要上演了。这条交线与画布相交，交点为V。由于V位于平面P1上，因此必然位于P1与画布的交线L1上。由于V也位于P2上，因此必然位于L2上。换言之，V就是画作中铁轨在画布上的交点。事实上，大草原上所有与铁轨平行的直路在画布上看起来都像经过V的直线。V就是所谓的“消失点”（vanishing point），即与铁道平行的所有直线在画作中必然经过的点。每一对平行轨道都能在画布上形成某个消失点，消失点的位置取决于平行线的延伸方向。（唯一例外的是平行于画布的各对直线，例如铁轨之间的枕木，它们在画作中看上去仍然是相互平行的。）
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布鲁内莱斯基在上述分析中完成的概念转换是射影几何学的核心内容。看到风景画中的点，我们就会想到通过我们眼睛的直线。乍一看，似乎仅仅是语义上的区别；地面上的各点可以而且只能形成一条通过该点与我们眼睛的直线，因此，我们想到的是点或者直线，会有什么不同呢？两者的区别就在于，通过我们眼睛的直线比地面上的点多，因为水平直线并不与地面相交。这些水平直线对应画布上的消失点，也就是铁轨相交的位置。你可能会把这样的直线看成沿铁道延伸方向的地面上一个无穷远的点，数学家把这样的点叫作“无穷远点”（point at infi nity）。如果你把欧几里得几何学中的平面复制到无穷远点，就会得到“射影平面”（projective plane），参见下图。
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射影平面
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大多数射影平面看上去与你熟悉的规整、平坦的平面非常相似，但是，射影平面上有很多无穷远点。每个无穷远点都代表平面中直线延伸的一个方向，上图中，P对应垂直方向，你应该把它看成沿纵轴向上无限延伸，同时还沿着该纵轴向下无限延伸。在射影平面中，纵轴的两端在无穷远点重合，因此，它表现为圆，而不是直线。同样，Q是位于东北方向（同时也位于西南方向）上的无穷远点，R是位于横轴末端的点，或者说是横轴两端的端点。如果向右移动无穷远的距离，到达R之后继续移动，此时你会发现你仍然在向右移动，但却是从画的左边向中心位置靠近。
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从一个方向离开，却从相反方向回来，温斯顿·丘吉尔（Winston Churchill）年轻时曾对这个奇特的现象备感着迷，他回忆自己毕生在数学方面的唯一一次顿悟时说：
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有一次，我突然对数学有了感觉，以前无法理解的难题在我面前迎刃而解。我看到一个数字在经过无穷点之后，符合由正号变成负号。我当时的感觉，就像人们看到金星凌日现象，甚至是伦敦市长就任时的游行盛况那样激动不已。我彻底明白了其中的道理，知道这种改变必然发生的原因。就跟从政一样，各个步骤之间存在某种必然的联系。不过，当时我已经吃过晚饭了，所以没有做进一步的研究。
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事实上，R不仅是横轴的端点，还是所有水平直线的终点。如果两条不同的直线都是水平的，那么它们相互平行。但是，在射影几何学中，它们却会在无穷远点处相交。很多人认为《无尽的玩笑》一书的结尾非常突兀，因此，1996年，有人在采访华莱士时问他，他是不是因为“在写这本书时感到厌烦了”，所以不想写结尾？华莱士有点儿不耐烦地说：“我认为这本书是有结尾的。平行线都有可能趋于相交，因此，读者可以在正常框架之外设计一个‘结尾’。如果你想不到这种趋于相交的现象，也不会设计结尾，那么对你来说，这本书就是一部失败的作品。”
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射影平面有用绘图方式难以表现的缺陷，但是也有让人们更乐于接受几何学原理的优点。在欧几里得几何学的平面中，两个不同的点可以确定唯一的直线，两条不同的直线可以产生唯一的交点，但是这两条直线不能是平行线，否则它们不会相交。在数学上，我们愿意接受各种规则，不喜欢例外情况。在射影平面上，我们可以认为两条直线相交于一点，而不需要考虑任何例外情况，因为平行线也会相交。例如，任意两条垂直线都会相交于P，而任意两条从东北向西南方向延伸的直线都会相交于Q。两个点确定一条直线，两条直线确定一个相交点，无须任何附加条件。经典平面几何学不可能有这样完美的对称性，也不可能这样简练。在人们尝试解决利用画布描绘三维世界这个实际问题的过程中，射影几何学应运而生，这并不是一种巧合。历史反复证明，数学的简洁与实际效用紧密相关。有时，科学家发现了某个理论，就把它交给数学家，让后者研究这个理论为什么如此简洁；还有些时候，数学家建立了某个简洁的理论，然后交由科学家研究该理论的实际价值。
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射影平面的一个好处是促生了具象绘画，还有一个好处是选对彩票号码。
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射影几何学与彩票中奖
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射影几何学有两个公理：
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公理1：经过两点有且只有一条直线。
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公理2：两条直线有且只有一个交点。
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数学家发现一种射影平面可以满足上述两个公理之后，自然会想是不是还有更多的射影平面也满足这两个公理。研究发现，这样的射影平面非常多，而且大小不一。最小的射影平面是以其创建者法诺（Gino Fano）的名字命名的，叫作“法诺平面”（Fano plane）。法诺是19世纪末期最先对有限维射影几何学认真展开研究的数学家之一，法诺平面的大致情形如下图所示。
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这个射影平面真的非常小，只包含7个点。其中的“直线”，即图中的线条，也非常短小，每条只包含3个点。一共有7条这样的直线，其中6条看起来像直线，另外一条则与圆相似。尽管这个射影平面形状奇特，但它与布鲁内莱斯基平面一样，满足公理1和公理2。
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值得赞赏的是，法诺使用了现代研究经常使用的方法，用哈代的话说就是“下定义的习惯”，从而避免了“射影平面到底是什么”这个无法回答的问题，代之以“哪些现象具有射影平面的特点”。法诺的原话是这样的：
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作为研究的基础，我们假设有任意数量、任意属性的实体，我们简称其为“点”，但是这个名称与它们的属性无关。
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对于法诺及其信徒而言，直线“看起来像”直线、圆、野鸭还是其他任何东西并不重要，重要的是这些直线遵从欧几里得及其后来者关于直线的定义。只要它的特性与射影平面相似，我们就认为它是射影平面。有人认为，这种行为会把数学与现实割裂开来，应当予以抵制。但是，这种观点过于保守了。研究发现，我们运用几何学方法思考那些看起来不像欧几里得空间的物体，甚至理直气壮地把它们称作“几何体”，这种大胆的做法，在我们理解相对时空几何学时，发挥了非常重要的作用。时至今日，我们在展望互联网前景时还会使用广义的几何学理论。几何学理论的变化更大，如果欧几里得重生，估计他也无法辨认，这就是数学了不起的地方。我们所定义的一系列概念，如果是正确的，即使它们被用到远远超出当初构建情境的更大范围中，也不会有问题。
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我们再次以法诺平面为例，只不过把平面中的点用1至7这7个数字一一加以标记。
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