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这个射影平面真的非常小，只包含7个点。其中的“直线”，即图中的线条，也非常短小，每条只包含3个点。一共有7条这样的直线，其中6条看起来像直线，另外一条则与圆相似。尽管这个射影平面形状奇特，但它与布鲁内莱斯基平面一样，满足公理1和公理2。
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值得赞赏的是，法诺使用了现代研究经常使用的方法，用哈代的话说就是“下定义的习惯”，从而避免了“射影平面到底是什么”这个无法回答的问题，代之以“哪些现象具有射影平面的特点”。法诺的原话是这样的：
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作为研究的基础，我们假设有任意数量、任意属性的实体，我们简称其为“点”，但是这个名称与它们的属性无关。
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对于法诺及其信徒而言，直线“看起来像”直线、圆、野鸭还是其他任何东西并不重要，重要的是这些直线遵从欧几里得及其后来者关于直线的定义。只要它的特性与射影平面相似，我们就认为它是射影平面。有人认为，这种行为会把数学与现实割裂开来，应当予以抵制。但是，这种观点过于保守了。研究发现，我们运用几何学方法思考那些看起来不像欧几里得空间的物体，甚至理直气壮地把它们称作“几何体”，这种大胆的做法，在我们理解相对时空几何学时，发挥了非常重要的作用。时至今日，我们在展望互联网前景时还会使用广义的几何学理论。几何学理论的变化更大，如果欧几里得重生，估计他也无法辨认，这就是数学了不起的地方。我们所定义的一系列概念，如果是正确的，即使它们被用到远远超出当初构建情境的更大范围中，也不会有问题。
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我们再次以法诺平面为例，只不过把平面中的点用1至7这7个数字一一加以标记。
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是不是感觉很熟悉呢？如果我们用其中的3个点代表这些直线，并把全部7条直线列出来，就会得到：
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它们正好是我们在上文中看到的7个数字构成的彩票号码组合，也就是可以保证至少获得最低奖金的号码组合。这似乎充满了神秘感，以至于我们会不由自主地想：什么样的人才能想出如此完美的彩票号码组合呢？
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但是现在，我打开了盒子，让大家看到了其中的奥秘：一个非常简单的几何体。每对数字都会出现在一张彩票上，因为每对点只能出现在一条直线上。它还是欧几里得几何学，虽然我们所说的点与直线已经面目全非，可能连欧几里得本人也辨认不出来。
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信号与噪声
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法诺平面可以教我们怎么买特兰西瓦尼亚彩票才会稳赚不赔，那么马萨诸塞州的“Cash WinFall”彩票该怎么买呢？包含多于7个点的有限维射影平面非常多，但可惜的是，它们都不能精准地满足“Cash WinFall”彩票的所有要求。因此，我们需要找到更具一般性的射影平面。结果，不是文艺复兴时期的绘画或者欧几里得几何学，而是信息论出人意料地给出了答案。
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假设我希望给一颗卫星发出一条重要的信息，例如“打开右推进器”。卫星不会讲英语，因此，我实际上发出的是0与1构成的序列，计算机科学家把0、1称作“比特”（bit）。
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1110101……
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上面这条信息似乎干净利落，没有歧义。但是在现实生活中，通信渠道却充满了各种噪声。卫星在接收到你发送的信息时，可能同时会接收到宇宙射线，导致信息中的一个比特被篡改了，于是卫星收到的信息变成：
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1010101……
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这条信息看上去似乎变化不大，但是，如果它把“右推进器”篡改成了“左推进器”，这颗卫星就可能陷入大麻烦。