1701025853
1701025854
海明采取的第一个步骤是将信息分割成一个个代码块，每个代码块由三个数字组成，比如：
1701025855
1701025856
111 010 101……
1701025857
1701025858
“海明码”（Hamming code）是一种把三位数的代码块转换成7位数的代码块的规则，其密码本为：
1701025859
1701025860
000 → 0000000
1701025861
1701025862
001 → 0010111
1701025863
1701025864
010 → 0101011
1701025865
1701025866
011 → 0111100
1701025867
1701025868
101 → 1011010
1701025869
1701025870
110 → 1100110
1701025871
1701025872
100 → 1001101
1701025873
1701025874
111 → 1110001
1701025875
1701025876
经过编码之后，上述信息就会变成：
1701025877
1701025878
1110001 0101011 1011010……
1701025879
1701025880
这些7位数的代码块叫作“代码字”（code word），海明码只允许有这8个代码字。如果接收到的信息中的代码块不是其中之一，就可以肯定有地方出错了。比如，如果接收到1010001，我们就会知道它肯定不正确，因为1010001不是代码字。此外，我们接收到的这条信息与代码字1110001只有一个地方不同，而其他代码字与我们实际看到的错误信息都不可能如此接近，因此，我们可以很有把握地猜测对方想要传输给我们的代码字是1110001，也就是说，原始信息中与之对应的三位数代码块应该是111。
1701025881
1701025882
可能有人认为我们太幸运了。如果接收到的信息与两个代码字都非常接近，我们该怎么办呢？我们的判断就不会那么有把握了吧？但是，这种情况不会发生，我会告诉大家原因。我们现在回过头去研究法诺平面上的那些直线：
1701025883
1701025884
124
1701025885
1701025886
135
1701025887
1701025888
167
1701025889
1701025890
257
1701025891
1701025892
347
1701025893
1701025894
236
1701025895
1701025896
456
1701025897
1701025898
我们把这些直线输入计算机时，该怎么描述它们呢？计算机可以识别的语言只有0与1，因此，我们必须把每一条直线都转换成一连串的0与1，其中，在n处的0表示“n位于该直线上”，而在n处的1则表示“n不在该直线上”。比如，第一行的124可以写成0010111，第二行的135可以写成0101011。
1701025899
1701025900
我们发现，这两个代码块都是海明码的代码字。实际上，海明码中的7个非零代码字正好对应法诺平面上的7条直线。因此，海明码（还包括特兰西瓦尼亚彩票的最佳号码组合）与法诺平面是完全相同的数学研究对象，只不过改头换面了！
1701025901
1701025902
这就是海明码隐藏得很深的几何特性。代码字是法诺平面上可以构成直线的3个点的组合，只要原始的代码字不是0000000，代码块的小变动就等同于在直线上增减一个点，而接收到的错误信息则对应两个点或者4个点。如果我们接收到两个点，我们就会知道如何找到丢失的点，它肯定是连接这两个点的唯一直线上的第三个点。如果我们接收到4个点，构成了“直线加一个点”的信息，该怎么办呢？此时，我们可以推断正确的信息应该是由可以形成直线的3个点组成的。思维缜密的人立刻会问：我们怎么知道只有3个点符合条件呢？为了便于理解，我们给这4个点分别命名为A、B、C、D。如果A、B、C位于一条直线上，那么发送方想要发送的肯定是A、B、C构成的信息。但是，如果A、C、D也位于一条直线上呢？别担心，这是不可能的，因为包含A、B、C的直线与包含A、C、D的直线有A、C两个公共点，但是公理2规定，两条直线只能相交于一个点。换言之，由于几何公理的作用，海明码具有与“重复三次”相同的校正错误的魔力。如果信息在传输过程中被篡改了一个比特，那么接收方肯定可以判断出发送方想要发送的信息。而且，我们无须花费3倍的传输时间，这种新方法在传输信息时，每3个比特的原始信息仅需花费7个比特的传输量，两者之间的比为1∶2.33，效率更高。
[
上一页 ]
[ :1.701025853e+09 ]
[
下一页 ]