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（sphere packing）的难题，即如何把一堆大小相同的球体填充到狭小的空间中，使它们尽可能地紧密排列而且所有球体互不重叠。换一个更简洁的说法：盒子中可以装多少个橙子？
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球体填充问题由来已久，比错误校正码出现的时间要早得多，甚至可以追溯至天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）的时代。1611年，开普勒写了《关于六角雪花》（Strena Seu De Nive Sexangula）的小册子。尽管这个书名非常具象化，但是开普勒在书中思考的却是天然形状的起源这个大问题。雪花与蜂巢为什么是六边形，而苹果的种子却是五五排列呢？现在，与我们关系最密切的此类问题是：为什么石榴的种子通常有12个面呢？
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下面是开普勒的解释：石榴希望在果实中装入尽可能多的种子，也就是说，它在尝试解决球体填充问题。如果我们认为大自然总能找到解决问题的最佳途径，石榴就应该是球体填充的范例。开普勒认为，下面的结构是最紧密的球体填充方式。从平面图来看，第一层的种子应该是以下图所示的规则、整齐的方式排列在一起的。
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第二层与第一层相同，不过每颗种子都非常巧妙地置身于由位于下一层的3颗种子所构成的三角形的狭小空间中。然后，以同样的方式添加其他层。我们需要注意的是：每层有一半的间隙要用于盛放上一层的“球体”。因此，在填充每一层时，我们需要选择在哪些间隙中填充这些球体。最常见的选择方案叫作“面心立方晶格”（face-centered cubic lattice），该方案有一个非常好的特性：每层球体的位置正好位于自该层起下方第三层球体的正上方。开普勒认为，这是球体填充最紧密的方法。在面心立方晶格中，每个球体正好接触12个球体。开普勒猜想，石榴种子在逐渐长大的过程中，每颗种子会挤压与之相邻的12颗种子，因此接触点附近的表面会变平，最终形成他观察到的十二面形。
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我不知道开普勒的石榴论是否正确，但是，几百年来，他的“面心立方晶格是最紧密的球体填充方式”的论断，一直为数学界津津乐道。开普勒没有提供任何证明，很显然，在他看来，面心立方晶格理论是不可能被推翻的。一代代的食品杂货商都与开普勒的观点一致，他们在堆放橙子时一直采用面心立方晶格这种方法，而从来不考虑这是不是最佳做法。不过，苛求的数学家希望能找到铁证，而且，他们关心的不仅限于圆与球体。进入理论数学的研究领域之后，我们自然会超出圆与球体的范畴，研究维度超过三维的所谓超球体填充问题。射影几何学的研究成果拓展了错误校正码理论的视野，那么高维的球体填充问题也会推动编码理论的发展吗？这一次的情况与人们的初衷几乎背道而驰，人们深入研究编码理论取得的突出成果，反过来对解决球体填充问题起到了推动作用。20世纪60年代，约翰·里奇（John Leech）利用戈利发明的一种编码，构建了一种紧密程度令人叹为观止的24维球体填充方法，人们称之为“里奇晶格”（Leech lattice）。在里奇晶格这个拥挤的空间里，每个24维球体同时接触196 560个其他球体。我们仍然不知道这种填充方法是不是最紧密的24维球体填充法，但是，2003年，微软研究院的亨利·科恩（Henry Cohn）与阿比纳夫·库玛（Abhinav Kumar）证明，如果存在更紧密的晶格，那么这种晶格的与里奇晶格的紧密程度的比值最多为：
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1.000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 65
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也就是说，两者非常接近。
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你无须关心24维球体以及如何将它们排列在一起的问题，但是，你必须知道，像里奇晶格这种令人惊叹的数学对象肯定有非常重要的价值。事实证明，里奇晶格具有大量奇特的对称性。1968年，杰出的群理论学家约翰·康威在接触到里奇晶格之后，经过12个小时的计算，用了很多张纸，才找出了其所有的对称性。后来，这些对称性成了有限对称群的一般理论的组成部分，这些一般理论是代数学家在20世纪大部分时间里潜心研究的内容。
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至于古老的三维橙子问题，研究证明开普勒说的没错，他的填充法的确是最佳方法。但是，直到大约400年之后，托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）才于1998年完成了证明。黑尔斯当时在密歇根大学任教，他将这个问题简化为只有几千种排列方式的球体，然后借助计算机处理大量计算步骤，才完成了这个艰难的证明。数学界对于艰难的证明早就习以为常了，对于他们而言这不是问题。人们很快就发现并验证了黑尔斯的证明过程的准确性，但是，计算机完成的大量计算则难以验证。我们可以从头到尾详细检查证明过程，但是计算机程序与证明过程不同。即使人们可以检查每个代码行，又如何才能确定这些代码运行起来没有问题呢？
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数学家普遍认可了黑尔斯的证明，但是黑尔斯本人却面临着一个问题。当初，证明过程对计算机的依赖让他感到有些不安，现在，虽然开普勒猜想的证明工作顺利完成了，但他依然无法释怀。于是，黑尔斯离开了让他一举成名的几何学领域，投身到对证明过程进行验证的研究中，他希望未来的数学与我们现在看到的有很大不同。他认为，无论是借助计算机还是使用纸笔完成的数学证明，都已经变得十分复杂，而且各个证明过程相互依赖，以至于我们再也没有充分的理由相信这些证明过程是正确的。康维尔对里奇晶格的分析成为“有限单群分类”的一个重要组成部分，有限单群分类这个研究项目目前已经完成，其成果表现为几百名作者撰写的几百篇论文，这些论文的篇幅总计超过1万页。据说，到目前为止还没有人能够理解其全部内容。那么，我们如何才能确定这些内容都是正确的呢？
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黑尔斯认为，我们别无选择，只能另起炉灶，在可以借助计算机验证的前提下重新整合大量的数学资料。黑尔斯曾经为证明过程是否站得住脚而头疼不已，他认为，如果用于验证证明过程的编码本身便于验证（黑尔斯有充分的理由认为这个目标是可以实现的），我们就可以一劳永逸地摆脱类似的争议。然后呢？也许就是要求计算机在完全不需要人类介入的情况下可以独立完成证明过程，甚至具有思维能力。
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如果这一切真的发生了，是不是意味着数学将会寿终正寝？的确如此，如果计算机在思维能力方面赶超人类，然后像某些偏激的未来主义者预测的那样，把人类当作奴隶、牲畜或者宠物，那么，数学真的会和所有东西一起灭亡。毕竟，几十年来，人们一直在利用计算机辅助数学研究。有很多种曾经被视为“研究”
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的计算活动，在现代人的心目中已经与10位数的求和一样不再具有创造性，也不值得称道了。只要笔记本电脑可以完成的工作，再也不能算作数学研究了。但是，数学家并没有因此失业。就像动作片的主角跑得比爆炸引起的大火蔓延的速度要快一样，数学家也总能领先于计算机影响力不断扩展的速度。
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如果未来的机器智能真的可以接管大部分我们现在视为研究的工作，会怎么样呢？我们会重新分类，把那些研究工作划拨到“计算”的项目之下。而人类利用善于做定量研究的头脑所完成的全部工作，都会被称作“数学研究”。
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虽然海明码的效果相当不错，但是人们想百尺竿头更进一步，毕竟海明码的效率还可以进一步提高。早在穿孔纸带与机械式继电器时代，计算机就已经可以完美地处理几乎所有7位数的代码块了。海明码似乎过于谨慎了，我们肯定可以减少向信息中添加的保护代码位数，香农的著名定理证明我们确实可以做到这一点。比如，香农认为，如果错误的发生概率为每1 000位数的代码中出现一个错误，那么在应用某些编码进行处理后，信息的长度仅比编码前增加了1.2%。这些编码还不是最好的，如果逐渐增加基础代码块的长度，我们发现某些编码在达到一定的处理速度的同时，还能满足我们对信息可靠程度的任何要求。
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那么，香农是如何发明这些优质编码的呢？答案是，这些编码并不是他发明的。我们在遇到像海明码这样的复杂结构时，往往会下意识地认为错误校正码真的非常特别，在设计时它们肯定会被反复修改，直到每对代码字都小心翼翼地保持彼此间的距离，而且能确保其他对代码字不得其门而入。香农的聪明才智表现在，他看出这是一个彻头彻尾的错误认识。错误校正码根本没有任何特别之处，香农成功地证明（一旦知道需要证明的内容，证明过程本身并不是特别难）几乎所有的代码字集都有错误校正的功能。换言之，没有经过任何设计的完全随机的编码也极有可能是一种错误校正码。
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毫不夸张地说，这至少是一个令人震惊的新发现。假设我们接受了一个建造气垫船的任务，难道我们的第一选择是把一堆引擎零部件和橡皮管随意地扔到地上，然后指望它们能自动组装成漂浮在水面上的气垫船吗？
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1986年，时隔40年之后，海明仍然对香农的证明过程敬佩不已，他说：
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香农最杰出的特点之一就是他的勇气。想想他提出的主要定理，他的勇气便可见一斑。他希望发明一种编码，因为无从下手，他就写了一个随机编码。这时，他想到了一个问题：“普通的随机编码有什么作用？”他认为普通编码具有完美的随机性，因此肯定具有较高的使用价值。如果没有无与伦比的勇气，怎么会有这么大胆的想法呢？勇气是伟大科学家必备的特质，这些科学家在极度困难的情况下也会昂首阔步向前进，并不断地思考。
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如果随机编码也有可能是错误校正码，那么海明码还有什么存在的意义呢？既然香农也认为随机编码有可能具有矫正错误的功能，那么我们为什么不随意选择代码字呢？这是因为这个做法会导致一个问题：编码光在理论上具有矫正错误的功能是不够的，关键是它在实践中是否能够矫正错误。如果香农编码的代码块的位数为50，代码块的总数就是50个0、1构成的不同代码块的总数，即250个，这个数字略大于1 000兆。卫星接收到的信号应该是（或者至少接近于）这些代码块中的一个，但是代码块一共有1 000兆个，它接收到的到底是哪一个代码块呢？如果我们必须从这1 000兆个代码块中逐一甄别，就太麻烦了，因为这又是一个组合爆炸问题。因此，我们必须再次采取一种平衡的策略。像海明码这种条理清晰的编码往往更易于解码，但是事实证明，这些非常特别的编码，其效率通常比不上香农研究的那些随机编码。时至今日，几十年过去了，数学家一直在结构性与随机性这两个概念之间进退维谷，在绞尽脑汁地发明各种编码时，既希望其有足够的随机性，可以快速处理数据，又希望其有充分的结构性，以便降低解码的难度。
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海明码在特兰西瓦尼亚彩票游戏中可以大显身手，但是在“Cash WinFall”彩票游戏中却一无是处。这是因为特兰西瓦尼亚彩票只有7个数字，而马萨诸塞州的彩票却有46个数字，后者需要更强大的编码。我能找到的最适合“Cash WinFall”彩票的编码就是莱斯特大学的丹尼斯顿（Denniston）于1976年发明的，这套编码真是太完美了。
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丹尼斯顿列出了一个号码组合清单，其中包含285 384个号码组合，都是由48个备选数字中的6个构成的。排在清单前几位的号码组合为：
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