1701025963
那么，香农是如何发明这些优质编码的呢？答案是，这些编码并不是他发明的。我们在遇到像海明码这样的复杂结构时，往往会下意识地认为错误校正码真的非常特别，在设计时它们肯定会被反复修改，直到每对代码字都小心翼翼地保持彼此间的距离，而且能确保其他对代码字不得其门而入。香农的聪明才智表现在，他看出这是一个彻头彻尾的错误认识。错误校正码根本没有任何特别之处，香农成功地证明（一旦知道需要证明的内容，证明过程本身并不是特别难）几乎所有的代码字集都有错误校正的功能。换言之，没有经过任何设计的完全随机的编码也极有可能是一种错误校正码。
1701025964
1701025965
毫不夸张地说，这至少是一个令人震惊的新发现。假设我们接受了一个建造气垫船的任务，难道我们的第一选择是把一堆引擎零部件和橡皮管随意地扔到地上，然后指望它们能自动组装成漂浮在水面上的气垫船吗？
1701025966
1701025967
1986年，时隔40年之后，海明仍然对香农的证明过程敬佩不已，他说：
1701025968
1701025969
香农最杰出的特点之一就是他的勇气。想想他提出的主要定理，他的勇气便可见一斑。他希望发明一种编码，因为无从下手，他就写了一个随机编码。这时，他想到了一个问题：“普通的随机编码有什么作用？”他认为普通编码具有完美的随机性，因此肯定具有较高的使用价值。如果没有无与伦比的勇气，怎么会有这么大胆的想法呢？勇气是伟大科学家必备的特质，这些科学家在极度困难的情况下也会昂首阔步向前进，并不断地思考。
1701025970
1701025971
如果随机编码也有可能是错误校正码，那么海明码还有什么存在的意义呢？既然香农也认为随机编码有可能具有矫正错误的功能，那么我们为什么不随意选择代码字呢？这是因为这个做法会导致一个问题：编码光在理论上具有矫正错误的功能是不够的，关键是它在实践中是否能够矫正错误。如果香农编码的代码块的位数为50，代码块的总数就是50个0、1构成的不同代码块的总数，即250个，这个数字略大于1 000兆。卫星接收到的信号应该是（或者至少接近于）这些代码块中的一个，但是代码块一共有1 000兆个，它接收到的到底是哪一个代码块呢？如果我们必须从这1 000兆个代码块中逐一甄别，就太麻烦了，因为这又是一个组合爆炸问题。因此，我们必须再次采取一种平衡的策略。像海明码这种条理清晰的编码往往更易于解码，但是事实证明，这些非常特别的编码，其效率通常比不上香农研究的那些随机编码。时至今日，几十年过去了，数学家一直在结构性与随机性这两个概念之间进退维谷，在绞尽脑汁地发明各种编码时，既希望其有足够的随机性，可以快速处理数据，又希望其有充分的结构性，以便降低解码的难度。
1701025972
1701025973
海明码在特兰西瓦尼亚彩票游戏中可以大显身手，但是在“Cash WinFall”彩票游戏中却一无是处。这是因为特兰西瓦尼亚彩票只有7个数字，而马萨诸塞州的彩票却有46个数字，后者需要更强大的编码。我能找到的最适合“Cash WinFall”彩票的编码就是莱斯特大学的丹尼斯顿（Denniston）于1976年发明的，这套编码真是太完美了。
1701025974
1701025975
丹尼斯顿列出了一个号码组合清单，其中包含285 384个号码组合，都是由48个备选数字中的6个构成的。排在清单前几位的号码组合为：
1701025976
1701025977
1701025978
1701025979
1701025980
……
1701025981
1701025982
前两组号码有4个数字相同，即2、3、4和48。但是，我们在这285 384组号码中不可能找到有5个数字相同的两组号码，这正是丹尼斯顿清单的神奇之处。在前文中，我们把法诺平面转变成编码，同样，我们也可以把丹尼斯顿清单转变成编码：把每组彩票号码转换成由0和1构成的48位数的代码块，在与彩票号码中数字相对应的位置填上0，其他位置填上1。因此，上面的第一组号码就会变成下面这个代码块：
1701025983
1701025984
000011101111111111111111111111111111111111111110
1701025985
1701025986
由于每两组号码的6个数字中不可能有5个相同，因此，这套编码与海明码一样，每两个代码块的间距都会大于或等于4。这个结论，请大家自行验证。
1701025987
1701025988
也就是说，任意5个数字的组合在丹尼斯顿的彩票号码清单中至多出现一次。它的好处不仅限于此，事实上，任意5个数字的组合在丹尼斯顿的彩票号码清单中都会出现但只有一次。
1701025989
1701025990
由此可以想象，丹尼斯顿列举这个清单时必须非常小心。丹尼斯顿在他的论文中给出了一个用“算法语言”（ALGOL）编写的计算机程序，可以验证他的清单的确具有他所说的神奇特点。在20世纪70年代，这是非常高调的姿态。此外，他还强调，在人机合作方面，计算机的作用应严格从属于他本人所发挥的作用：“虽然我建议大家可以使用计算机验证我的研究结果，但是我要明确地告诉大家，在得出这些结果的过程中我没有使用计算机。”
1701025991
1701025992
“Cash WinFall”彩票游戏有46个数字，要使用丹尼斯顿系统的话，我们需要稍稍破坏后者的完美对称性，剔除其中包含47或者48的所有号码组合。这样，剩下的号码组合仍然有217 833个。如果我们从藏在床底下的钱中拿出435 666美元买这些号码组合，结果会怎样呢？
1701025993
1701025994
彩票中心会开出6个数字，比如4、7、10、11、34、46。如果这个号码组合不可思议地与你选的某组号码完全匹配，你就中了大奖。不过，即使没中大奖，你仍然有可能猜中6个数字中的5个，赢得让你满意的奖金。你买的彩票中有没有一组含有4、7、10、11、34？丹尼斯顿列举的那些号码组合中的确有一组这样的号码，除非这组号码是4、7、10、11、34、47或者4、7、10、11、34、48，导致你没法选用，否则，你绝不会与奖金失之交臂。
1701025995
1701025996
如果开出的是另外5个号码，比如4、7、10、11、46，结果会怎么样呢？上一次你的运气不好，因为丹尼斯顿清单中有一组号码是4、7、10、11、34、47，因此，4、7、10、11、46、47这组号码就不可能出现在丹尼斯顿清单上，否则清单上就会有两组号码有5个数字相同。换句话说，如果47这个讨厌的数字让我们错失了一次获得“6中5”奖金的机会，那么它只有这一次捣乱的机会，数字48的情况与之相同。因此，一共有6个号码组合可能会赢得“6中5”奖项：
1701025997
1701025998
1701025999
1701026000
1701026001
你买的彩票肯定至少包含其中4组号码。因此，如果我们购买了217 833组丹尼斯顿号码，我们就会有：
1701026002
1701026003
2%的概率中大奖；
1701026004
1701026005
72%的概率赢得6个“6中5”奖项；
1701026006
1701026007
24%的概率赢得5个“6中5”奖项；
1701026008
1701026009
2%的概率赢得4个“6中5”奖项。
1701026010
1701026011
我们把这种情况与塞尔比通过快速选号器随机选号的结果进行比较。塞尔比的选号策略有一个比较小的概率会被“6中5”奖项完全拒之门外，这个概率为0.3%。更糟糕的是，只中一个该奖项的概率为2%，中两个的概率为6%，中三个的概率为11%，中4个的概率为15%。因此，丹尼斯顿策略可以保证的收益在这里被风险所取代。当然，风险也有好的一面。塞尔比团队赢得6个以上该奖项的概率为32%，而根据丹尼斯顿策略选号时，中该奖项的数量不可能超过6个。塞尔比的彩票期望值与丹尼斯顿的彩票期望值，乃至所有人的彩票期望值相同，但是，丹尼斯顿策略可以让玩家免受风险的影响。要规避博彩活动的风险，仅凭购买数十万张彩票是不够的，还必须选择正确的号码。
1701026012