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前两组号码有4个数字相同，即2、3、4和48。但是，我们在这285 384组号码中不可能找到有5个数字相同的两组号码，这正是丹尼斯顿清单的神奇之处。在前文中，我们把法诺平面转变成编码，同样，我们也可以把丹尼斯顿清单转变成编码：把每组彩票号码转换成由0和1构成的48位数的代码块，在与彩票号码中数字相对应的位置填上0，其他位置填上1。因此，上面的第一组号码就会变成下面这个代码块：
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000011101111111111111111111111111111111111111110
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由于每两组号码的6个数字中不可能有5个相同，因此，这套编码与海明码一样，每两个代码块的间距都会大于或等于4。这个结论，请大家自行验证。
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也就是说，任意5个数字的组合在丹尼斯顿的彩票号码清单中至多出现一次。它的好处不仅限于此，事实上，任意5个数字的组合在丹尼斯顿的彩票号码清单中都会出现但只有一次。
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由此可以想象，丹尼斯顿列举这个清单时必须非常小心。丹尼斯顿在他的论文中给出了一个用“算法语言”（ALGOL）编写的计算机程序，可以验证他的清单的确具有他所说的神奇特点。在20世纪70年代，这是非常高调的姿态。此外，他还强调，在人机合作方面，计算机的作用应严格从属于他本人所发挥的作用：“虽然我建议大家可以使用计算机验证我的研究结果，但是我要明确地告诉大家，在得出这些结果的过程中我没有使用计算机。”
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“Cash WinFall”彩票游戏有46个数字，要使用丹尼斯顿系统的话，我们需要稍稍破坏后者的完美对称性，剔除其中包含47或者48的所有号码组合。这样，剩下的号码组合仍然有217 833个。如果我们从藏在床底下的钱中拿出435 666美元买这些号码组合，结果会怎样呢？
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彩票中心会开出6个数字，比如4、7、10、11、34、46。如果这个号码组合不可思议地与你选的某组号码完全匹配，你就中了大奖。不过，即使没中大奖，你仍然有可能猜中6个数字中的5个，赢得让你满意的奖金。你买的彩票中有没有一组含有4、7、10、11、34？丹尼斯顿列举的那些号码组合中的确有一组这样的号码，除非这组号码是4、7、10、11、34、47或者4、7、10、11、34、48，导致你没法选用，否则，你绝不会与奖金失之交臂。
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如果开出的是另外5个号码，比如4、7、10、11、46，结果会怎么样呢？上一次你的运气不好，因为丹尼斯顿清单中有一组号码是4、7、10、11、34、47，因此，4、7、10、11、46、47这组号码就不可能出现在丹尼斯顿清单上，否则清单上就会有两组号码有5个数字相同。换句话说，如果47这个讨厌的数字让我们错失了一次获得“6中5”奖金的机会，那么它只有这一次捣乱的机会，数字48的情况与之相同。因此，一共有6个号码组合可能会赢得“6中5”奖项：
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你买的彩票肯定至少包含其中4组号码。因此，如果我们购买了217 833组丹尼斯顿号码，我们就会有：
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2%的概率中大奖；
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72%的概率赢得6个“6中5”奖项；
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24%的概率赢得5个“6中5”奖项；
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2%的概率赢得4个“6中5”奖项。
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我们把这种情况与塞尔比通过快速选号器随机选号的结果进行比较。塞尔比的选号策略有一个比较小的概率会被“6中5”奖项完全拒之门外，这个概率为0.3%。更糟糕的是，只中一个该奖项的概率为2%，中两个的概率为6%，中三个的概率为11%，中4个的概率为15%。因此，丹尼斯顿策略可以保证的收益在这里被风险所取代。当然，风险也有好的一面。塞尔比团队赢得6个以上该奖项的概率为32%，而根据丹尼斯顿策略选号时，中该奖项的数量不可能超过6个。塞尔比的彩票期望值与丹尼斯顿的彩票期望值，乃至所有人的彩票期望值相同，但是，丹尼斯顿策略可以让玩家免受风险的影响。要规避博彩活动的风险，仅凭购买数十万张彩票是不够的，还必须选择正确的号码。
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“随机策略”团队费时费力地手工填写数十万张彩票，是不是出于这个原因呢？他们是不是利用丹尼斯顿在纯粹的理论数学研究中发明的系统，毫无风险地从彩票中心圈钱牟利呢？在探究这个问题时，我遭遇了一次挫折。我成功地与卢玉然取得了联系，但他并不清楚这些号码是如何选择的。他只是告诉我，他们大学宿舍里有一位“关键先生”，全权负责选号事务。我不确定这个人是否使用了丹尼斯顿系统或者诸如此类的系统，但是我认为，如果他没有使用这类系统，就太可惜了。
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非理性行为为什么会存在？
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到目前为止，我们已经不厌其烦地证明了一个结论：从奖金期望值的角度看，买彩票几乎在所有情况下都是错误的选择；即使在某些罕见的个案中，彩票的奖金期望值高于其售价，我们也必须非常小心，才能从彩票中尽可能多的获得期望效用。
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这个结论让拥有数学思维的经济学家，很难解释彩票销售非常火爆的事实。200多年前，这个事实也让亚当·斯密困惑不已。埃尔斯伯格研究的是人们针对未知概率或者无法预测的概率做决策的情况，而购买彩票并不包含在内，因为所有人都已经被告知彩票的中奖概率非常小。人们在做决策时往往会追求效用最大化，这个原则是经济学家开展研究的基础，在为包括经营决策与爱情决策在内的所有行为建模时，给他们提供了有效的帮助。但是，这些行为并不包括弹力球游戏。就像毕达哥拉斯的门徒无法接受三角形的斜边长度是无理数一样，某些经济学家也无法接受弹力球游戏这种非理性的行为。弹力球游戏不适合他们的所有模型，但却是一种真实存在的事物。
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经济学家比毕达哥拉斯的门徒更懂得变通。在有人告诉他们坏消息时，他们不会勃然大怒，把送信人扔进大海淹死，而是对模型做出修正，以适应这种现实。我们的老朋友米尔顿·弗里德曼与伦纳德·萨维奇给出的一个解释得到了普遍认可。他们认为，彩票玩家遵循的是一种不规则的效用曲线，该曲线表明人们在买彩票时考虑的是阶级地位，而不是数量多少。如果你是中产阶级，每周在彩票上投入5美元并且没有中奖，那么这个决策会让你损失一点儿钱，但是不会改变你的阶级地位。而且，尽管你损失了一点儿钱，但是这个效用与零非常接近。不过，一旦中奖，就会让你步入一个新的社会阶层。我们可以使用“临终”模型来考虑这个问题：你都快要死了，如果因为买彩票而导致你临死时的钱变少了，你还会在乎吗？你可能一点儿都不在乎。如果中了弹力球游戏的大奖之后，你可以在35岁退休，尽情享受生活，比如去圣卢卡斯海角潜水，那么你会为之心动吗？是的，你肯定非常向往它。
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丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahnemann）与阿莫斯·特沃斯基在偏离经典理论的方向上走得更远。他们认为，一般来说，人们不仅仅是在丹尼尔·埃尔斯伯格把一只瓮放到他们面前时才会背弃效用曲线，而是在大多数情况下都会这样做。他们提出的“前景理论”（prospect theory）现在被视为行为经济学的基础理论，后来卡尼曼还因此获得了诺贝尔经济学奖。该理论的目的是，以尽可能逼真的模型展现人们实际的行为方式，而不是运用抽象的理性去推测他们应该采取的行为方式。卡尼曼–特沃斯基理论认为，人们对小概率事件的重视程度，往往超过冯·诺依曼公理认为我们应当赋予它们的重视程度；因此，大奖的诱惑力会大于我们根据期望效用理论计算得出的结果。
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但是，我们甚至根本不需要费力地开展理论研究，就可以给出一个最简单的解释：无论输赢，买彩票都可以给我们带来一些乐趣。与加勒比度假之旅或者参加通宵舞会的乐趣不同，这种乐趣也许只值一两美元吧。我们有理由不相信它（例如，玩家自己往往认为中奖的前景是他们买彩票的首要原因），但是它的确可以很好地解释人们买彩票的行为。
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经济学家不是物理学家，效用与能量也不同。效用无法储存，相互作用的结果有可能使双方都获得更多的效用，这是乐观的自由市场论者的彩票观。彩票不是递减税，而是一个游戏。人们向政府支付一小笔钱，参与政府廉价提供的几分钟娱乐活动，政府也因此获得维持公立图书馆、街道照明所需要的资金。有贸易往来的两个国家在交易之后都会成为赢家，彩票也是一样的道理。
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因此，如果你觉得弹力球游戏好玩，就尽管去玩吧，无须考虑数学问题！
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这个观点肯定也有问题。我们还是以帕斯卡为例，介绍一种典型的、悲观的博彩观：