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这并不意味着“现身说法”计划没有任何效果。人们在少年犯中随机选择了一部分人，让他们参与“现身说法”计划，然后同那些没有参与该计划的少年犯进行比较，以此来检验这项计划的效果。结果，研究人员发现，该计划竟然导致反社会行为有所增加。或许，给这项计划取名“以身试法”更合适。
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[1]这个事实及其解读来自美国国家橄榄球联盟统计部门的布莱恩·伯克（Brian Burke）。伯克善于阐释并密切关注依据统计学做出的准确判断，是严谨认真的体育分析师的典范。
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022632]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第15章 父母高，孩子不一定也高
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根据高尔顿的研究，只要研究对象受到随机性的影响，就会发生回归平均值现象。不过，与遗传因素相比，随机性的影响力有多大呢？
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单凭数据，高尔顿无法找出其中的玄机，因此，他必须把这些数字转变成图表的形式。后来，高尔顿回忆说：“我拿出一张白纸，用尺子和笔在上面画出坐标轴，横轴表示孩子的身高，纵轴表示父亲的身高，并标记出对应每个孩子及其父亲身高的那个点。”
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这个直观展示数据的方法汲取了勒内·笛卡儿（René Descartes）解析几何的精髓。解析几何要求我们把平面中的点看成一对数字，分别为横坐标和纵坐标，由此把代数和几何学紧密地联系在一起。
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每对父子都对应两个数字，也就是父亲的身高和孩子的身高。我父亲的身高是73英寸，我也一样，因此我们在高尔顿的数据集中就会被记录成（73，73）。高尔顿在图中表示我们父子时，会在横纵坐标都是73的位置上画一个标记点。在高尔顿的庞大数据集中，每对父子都会在坐标图上对应一个标记点，因此，这张图上会有很多点，能够直观地显示出身高差异的变化情况。就这样，高尔顿发明了现在被我们称为“散点图”（scatterplot）的图表类型。
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在揭示两个变量之间的关系时，散点图可以发挥惊人的作用。随便翻开任何一种科学杂志，我们都能看到散点图。19世纪后期是数据可视化的黄金时代，1869年，查尔斯·密纳德（Charles Minard）完成了他的那幅非常著名的示意图，展示了在入侵俄罗斯的途中拿破仑军队的规模逐渐减小，直至最后从俄罗斯撤退的情形。这幅示意图被称作人类有史以来最伟大的数据图，其实这幅图是在弗罗伦斯·南丁格尔（Florence Nightingale）的“玫瑰图”（coxcomb graph）的基础上演变而来的。南丁格尔完全借助可视化的方法，指出在克里米亚战争中绝大多数英国士兵不是被俄罗斯人杀死的，而是死于传染性疾病。
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玫瑰图与散点图都非常适合我们的认知能力。我们的大脑不习惯接收一列列的数字，但是特别善于在二维图表中找出规律与隐含的信息。
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在某些情况下，这些规律与信息并不难发现。举个例子，假设每对父子的身高都相同，就像我的父亲和我。这种情况说明，随机性没有发挥任何作用，我们的身高完全是由遗传因素决定的。相应地，散点图中所有点的横坐标与纵坐标都相同，换言之，这些点都在方程式x=y表示的直线上。
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请注意，在这条对角线的中间位置点的密度大，而两端的密度小。这是因为身高69英寸的人比身高73英寸或者64英寸的人多。
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如果父子的身高没有任何相关性，那么在这种相反的极端情况下，会出现什么结果呢？此时，我们会得到下面的散点图：
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这幅图与前面的散点图不同，没有表现出构成对角线的任何趋势。如果我们集中考虑父亲身高为73英寸的那些孩子的情况，也就是散点图右半部分中的一个垂直细长条的情况，就可以看出他们孩子的身高仍然会集中在69英寸周围。这表明儿子身高的条件期望值（也就是说，在父亲身高为73英寸时儿子的平均身高）与无条件期望值（在没有任何限制条件时儿子的平均身高）相同。父亲较高的孩子由于受到回归平均值现象的影响，因此与父亲不高的孩子的身高没有区别。这是回归平均值的极致形式。
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如果遗传基因不会造成身高差异，高尔顿画的图就会与这幅图相似。但是，高尔顿的散点图与上面两种极端情况下的数据图都不相同，而是两者中和的产物。
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在这幅图中，当父亲的身高为73英寸时，儿子的平均身高是多少呢？我在图中画出了一个垂直的细长条，与这些父子的情况相对应的点就位于这个区域中。
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从上图可以看出，在“父亲的身高接近73英寸”这个细长条中，对角线下方的点比对角线上方的点更加密集，这表明儿子的平均身高没有超过父亲。同时，这些点大多位于男性平均身高（69英寸）的上方。儿子们的平均身高略低于72英寸，也就是说超过男性的平均身高，但没有他们的父亲高。所以，我们看到的这幅图表现出回归平均值的特征。
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高尔顿很快发现，他的这幅表现遗传因素与随机性相互作用的散点图中形成了某种几何图形。这个几何图形没有表现出任何随机性，而是一个近似椭圆的形状，其中心位置对应的就是父母与孩子正好都是平均身高的那个点。
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