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那么，在几何学中，相关性指的是什么呢？为方便理解，我们回过头，再次研究2011年1月和2012年1月10个加州城市1月份平均气温的表格。我们发现，2011年的气温与2012年的气温之间存在非常强的正相关性，根据皮尔逊的公式，该相关系数是0.989。
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在研究两个不同年份气温测量数据之间的关系时，我们可以把表中各数据项减去相同的量，这个操作不会影响结果。如果2011年的气温与2012年的气温之间存在相关性，那么它与“2012年的气温+5华氏度”之间也必然存在相关性。我们还可以换一种方法来考虑这个问题：如果我们把图中所有的点都向上移动5英寸，那么高尔顿的椭圆形不会改变，发生改变的只是它的位置。事实证明，如果把这些气温值加上或减去一个相同的量，将更有利于我们的分析研究。比如，在这个案例中，两列数值分别减去2011年与2012年的气温平均值，我们就会得到下表：
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在这张表中，数据为负值时表示该城市气温较低，如特拉基；数据为正值时表示气温较高，如圣迭戈。
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接下来的步骤非常关键。记录2011年1月气温情况的那一列有10个数字，因此这一列就是一串数字，它还是一个点。这是怎么回事呢？这得归功于笛卡儿。我们可以把两个数字的组合（x， y）看成平面上的一个点，x自原点向右，y自原点向上，并画出一个从原点指向点（x， y）的短箭头，这个箭头叫作“向量”（vector）。
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同样，三维空间中的点可以表示成三个数字的组合（x， y， z）。只要我们不因循守旧，敢于创新，就能有所突破。4个数字的组合可以看成是四维空间中的点，那么，表中表示加州各地气温情况的那10个数字，就是十维空间中的点。不过，更好的做法是把它看成一个十维向量。
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此时，大家有足够的理由提出疑问：我应该怎么考虑这个十维向量？它到底是什么样子？
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十维向量的样子如下图所示：
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这是高级几何学中隐藏的一个小秘密。拥有处理十维（甚至一百维、一百万维）几何体的能力似乎是一件非常美妙的事，但是，我们的脑海里只能产生二维最多三维几何体的形象，这是我们思维能力的极限。值得庆幸的是，这种有限的思维能力足以帮助我们处理一些问题。
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高维几何体似乎有些神秘，因为我们生活在一个三维世界里（加上时间维度就是四维，如果我们是弦论学家，就可能是二十六维。即便如此，我们也会认为宇宙在其中大多数维度上的延伸是有限的）。我们为什么要研究高维几何体呢？
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时下特别流行的数据研究给出了一个答案。大家还记得前面讨论的用400万像素照相机拍摄的那幅照片吧，那幅照片被描述成了400万个数字，每个数字对应一个像素。（这是在不考虑颜色的情况下得到的结果。）因此，该影像就是一个四百万维向量，或者说，是四百万维空间中的一个点。随时间变化的影像就可以表示成一个在四百万维空间中移动的点，在四百万维空间中留下一条线。也就是说，不知不觉中，我们已经在研究四百万维向量的微积分问题了，而且，我们还会发现这样的研究其乐无穷。
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接下来我们继续讨论气温问题。表中有两列数据，每列都是一个十维向量，如下图所示：
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这两个向量的方向大致相同，表明这两列数据实际上区别不大。我们已经知道，2011年最冷的城市在2012年也非常冷，气温高的城市情况亦大致如此。
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这就是用几何语言表述的皮尔逊公式，两个变量之间的相关性是由这两个向量之间的夹角决定的。如果用三角学来描述，相关性就是夹角的余弦。至于你是否记得余弦的含义，这并不重要，你只需知道0度角（即两个向量指向相同方向）的余弦为1，180度角（两个向量指向相反方向）的余弦为–1。如果两个向量的夹角为锐角（小于90度的角），那么它们之间存在正相关关系；如果两个向量的夹角大于90度，即为钝角，那么它们之间存在负相关关系。笼统地讲，当夹角为锐角时，两个向量“指向相同方向”；而当夹角为钝角时，两个向量会“指向相反方向”。
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如果夹角既不是锐角也不是钝角，而是直角，那么这两个变量之间不存在相关性。在几何学中，我们把夹角为直角的两个向量叫作“垂直”（perpendicular）或“正交”（orthogonal）向量。数学家以及那些对三角学情有独钟的人经常延伸“orthogonal”这个词的内涵，用它来表示某个东西与手头上的东西没有任何关系。例如，“你可能以为你深受欢迎的原因与你的数学技能有关，但是，根据我的经验，这两者之间没有任何‘交集’（orthogonal）”。慢慢地，为三角学痴迷者们所青睐的这种用法就变成了人们广泛使用的语言。我从美国高等法院近期发生的口头辩论中摘选了一段，帮助你们了解这个现象。
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弗雷德先生：我认为那个问题与我们在这里讨论的问题没有任何“交集”，因为我们州承认……
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首席法官罗伯茨：对不起。没有任何什么？
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弗雷德先生：交集。两者毫无关联，没有任何相关性。
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首席法官罗伯茨：哦。
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法官萨卡里亚：是哪个词啊？我喜欢这个词。
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