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此时，大家有足够的理由提出疑问：我应该怎么考虑这个十维向量？它到底是什么样子？
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十维向量的样子如下图所示：
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这是高级几何学中隐藏的一个小秘密。拥有处理十维（甚至一百维、一百万维）几何体的能力似乎是一件非常美妙的事，但是，我们的脑海里只能产生二维最多三维几何体的形象，这是我们思维能力的极限。值得庆幸的是，这种有限的思维能力足以帮助我们处理一些问题。
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高维几何体似乎有些神秘，因为我们生活在一个三维世界里（加上时间维度就是四维，如果我们是弦论学家，就可能是二十六维。即便如此，我们也会认为宇宙在其中大多数维度上的延伸是有限的）。我们为什么要研究高维几何体呢？
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时下特别流行的数据研究给出了一个答案。大家还记得前面讨论的用400万像素照相机拍摄的那幅照片吧，那幅照片被描述成了400万个数字，每个数字对应一个像素。（这是在不考虑颜色的情况下得到的结果。）因此，该影像就是一个四百万维向量，或者说，是四百万维空间中的一个点。随时间变化的影像就可以表示成一个在四百万维空间中移动的点，在四百万维空间中留下一条线。也就是说，不知不觉中，我们已经在研究四百万维向量的微积分问题了，而且，我们还会发现这样的研究其乐无穷。
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接下来我们继续讨论气温问题。表中有两列数据，每列都是一个十维向量，如下图所示：
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这两个向量的方向大致相同，表明这两列数据实际上区别不大。我们已经知道，2011年最冷的城市在2012年也非常冷，气温高的城市情况亦大致如此。
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这就是用几何语言表述的皮尔逊公式，两个变量之间的相关性是由这两个向量之间的夹角决定的。如果用三角学来描述，相关性就是夹角的余弦。至于你是否记得余弦的含义，这并不重要，你只需知道0度角（即两个向量指向相同方向）的余弦为1，180度角（两个向量指向相反方向）的余弦为–1。如果两个向量的夹角为锐角（小于90度的角），那么它们之间存在正相关关系；如果两个向量的夹角大于90度，即为钝角，那么它们之间存在负相关关系。笼统地讲，当夹角为锐角时，两个向量“指向相同方向”；而当夹角为钝角时，两个向量会“指向相反方向”。
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如果夹角既不是锐角也不是钝角，而是直角，那么这两个变量之间不存在相关性。在几何学中，我们把夹角为直角的两个向量叫作“垂直”（perpendicular）或“正交”（orthogonal）向量。数学家以及那些对三角学情有独钟的人经常延伸“orthogonal”这个词的内涵，用它来表示某个东西与手头上的东西没有任何关系。例如，“你可能以为你深受欢迎的原因与你的数学技能有关，但是，根据我的经验，这两者之间没有任何‘交集’（orthogonal）”。慢慢地，为三角学痴迷者们所青睐的这种用法就变成了人们广泛使用的语言。我从美国高等法院近期发生的口头辩论中摘选了一段，帮助你们了解这个现象。
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弗雷德先生：我认为那个问题与我们在这里讨论的问题没有任何“交集”，因为我们州承认……
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首席法官罗伯茨：对不起。没有任何什么？
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弗雷德先生：交集。两者毫无关联，没有任何相关性。
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首席法官罗伯茨：哦。
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法官萨卡里亚：是哪个词啊？我喜欢这个词。
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弗雷德先生：交集。
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法官萨卡里亚：交集？
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弗雷德先生：对，对。
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法官萨卡里亚：哦。
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（哄堂大笑。）
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对于大家纷纷效仿使用“orthogonal”一词的行为，我是赞成的。数学术语变成日常用语已经不是新鲜事了。现在，“lowest common denominator”[3]这个表达的数学含义几乎消失了，而且这个演变过程是以指数级速度完成的。
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客气地说，将三角学应用于高维向量以量化相关性，并不是人们当初发明余弦函数的初衷。公元前2世纪，尼西亚天文学家希帕恰斯（Hipparchus）写出了第一个三角函数表，目的是计算日食的时间间距，他所使用的向量都是用来描述天体的，而且毫无例外都是三维的。但是，为达到某个目的而发明的数学工具，往往也可以在其他多个方面发挥作用。
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借助几何学来理解相关性这个概念，使统计数据中某些含糊不清的内容变得明晰起来。我们以富有的自由派精英分子为例，一段时间以来，这个略带贬义的词频频出现在政治专家的意见之中。戴维·布鲁克斯（David Brooks）在这个方面的见解可能最专注，也最翔实，他写了一本书介绍被他称作“波波族”的群体。[4]2001年，布鲁克斯在思考兼具城乡特色、经济富裕的马里兰州蒙哥马利县和经济水平居于中游的宾夕法尼亚州富兰克林县之间的差距时，发现根据经济水平进行政治分类的老方法已经严重滞后了。在这种旧的分类体系中，共和党支持的是钱袋子，而民主党支持的则是埋头工作的人。
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