1701026956
1701026957
真实情况并非如此。民主党人蒙特尔排在首位的票数最少，因此他最先被淘汰。在第二轮中，基斯与赖特在第一轮中排在首位的选票数保持不变，但是，本来是“蒙特尔，基斯，赖特”的1 332张选票现在变成了“基斯，赖特”，并被计入基斯名下。同样，本来是“蒙特尔，赖特，基斯”的767张选票则被计入赖特名下。最后，基斯的票数为4 314张，而赖特的票数是4 064张，因此，基斯再次当选伯灵顿市市长。
1701026958
1701026959
这个计票方法似乎合情合理，不是吗？先别着急回答，我们换一种方法——两两对决法——计算一下。在蒙特尔与基斯之间有4 067名选民支持蒙特尔，有3 477名选民支持基斯。在蒙特尔与赖特之间，有4 597人支持蒙特尔，有3 668人支持赖特。
1701026960
1701026961
换言之，多数选民对中间派候选人蒙特尔的支持超过基斯，同时，多数选民对蒙特尔的支持超过赖特。因此，我们有充分的理由认为蒙特尔才是真正的赢家，但是他在第一轮即遭淘汰。从这个现象我们可以看出实时复选法的一个缺点：对于中间派候选人而言，虽然大家都比较支持他，但是没有人把他排在第一位，因此，他很难赢得选举的胜利。
1701026962
1701026963
我们把上述分析总结如下：
1701026964
1701026965
传统的美国选举制度：赖特获胜
1701026966
1701026967
实时复选法：基斯获胜
1701026968
1701026969
两两对决法：蒙特尔获胜
1701026970
1701026971
你们是不是很困惑？还有更糟糕的呢。假设原本选票为“赖特，基斯，蒙特尔”的495人改变主意，把选票投给了基斯，同时把另外两名候选人的名字划掉。同时，本打算把选票投给赖特的选民中有300人也改变主意，把票投给了基斯。那么，赖特排在首位的选票就会减少795张，剩下2 502张。这样一来，第一轮遭到淘汰的就不是蒙特尔，而是赖特了。接下来的选举就变成蒙特尔与基斯的对决，而且蒙特尔最终会以4 067∶3 777的票数获胜。
1701026972
1701026973
看出其中的玄机了吗？我们让基斯得到更多的选票，结果他没有获胜，反而惨遭失败。
1701026974
1701026975
如果此时大家有晕头转向的感觉，那也没关系。
1701026976
1701026977
不过，我们要牢记一点：我们至少有合理的理由，知道本来应该赢得选举的人到底是谁。应该是民主党人蒙特尔，因为这个家伙在两两对决时既赢了赖特又击败了基斯。也许，我们应该把波达计算法、实时复选法等全部抛到脑后，让大多数人都支持的候选人直接当选就可以了。
1701026978
1701026979
看到这里，大家有没有感觉我在故弄玄虚？
1701026980
1701026981
“疯狂的绵羊”与悖论的较量
1701026982
1701026983
我们把伯灵顿市市长选举简化一下，假设一共只有三种选票：
1701026984
1701026985
1701026986
1701026987
1701026988
1701026989
1701026990
1701026991
在饼形图中，比较代表基斯与赖特的两个部分，我们可以发现多数选民对赖特的支持度高于蒙特尔；比较代表蒙特尔与基斯的两个部分，我们可以发现多数选民对基斯的支持度高于赖特。如果大多数人对基斯的支持度高于赖特，大多数人对赖特的支持度高于蒙特尔，难道还不能说明基斯应该再次当选吗？不一定，这中间存在一个问题：大多数人对蒙特尔的支持度远高于基斯，两者的票数比为2 854∶371。选票结果构成了一个奇怪的循环：基斯胜了赖特，赖特胜了蒙特尔，而蒙特尔又胜了基斯。如果两两对决，每名候选人都会取得一胜一负的结果。那么，他们当中似乎谁当选都不合适，难道不是吗？
1701026992
1701026993
这种令人烦恼的循环叫作“孔多塞悖论”（Condorcet paradox），是法国启蒙运动时期的哲学家孔多塞（Condorcet）于18世纪末发现的。孔多塞生活于法国大革命即将爆发的时期，是开明思想家中的翘楚，曾担任立法议会的主席。孔多塞看上去并不像一位政治家，他性格腼腆，说话声音很小，但语速很快。大革命时期的议会非常嘈杂，所以孔多塞提出议案时，人们常常听不见。但是，如果有人在学术标准上与他发生冲突，他经常会大发雷霆。由于他既羞怯内向又时而暴躁的性格特点，他的导师杜尔哥（Jacques Turgot）给他取了个绰号——“疯狂的绵羊”。
1701026994
1701026995
不过，孔多塞在政治上确实有过人之处：他充满激情，在处理事务时总是坚守推理（尤其是数学推理）这个原则。他对推理的信任与启蒙运动时期的其他思想家别无二致，但与此同时，他独树一帜地认为社会与道德世界可以通过方程式与公式来分析。孔多塞是第一位现代社会学家（他认为自己研究的是“社会数学”），他出身贵族家庭，但是他很快就认识到思维的普遍规律应该凌驾于国王们心血来潮的想法之上。卢梭认为人们的“总体意愿”应该可以左右政府的行为，孔多塞同意这个观点。但与卢梭不同的是，他并不满足于把这个认识看成是一种不言而喻的原则，而坚持认为在接受大多数观点之前必须通过数学方法来验证它们，概率论就可以完成这项任务。
1701026996
1701026997
1785年，孔多塞在“概率论在多数人决策中的应用”一文中提出了他的理论，简单地说就是：一个7人陪审团要做出被告是否有罪的判决，其中有4人认为被告有罪，有3人认为他无罪。假设每个人正确的概率为51%，在这种情况下，我们可能会预测4∶3的多数人做出的判决是正确的，而不大可能预测他们是错误的。
1701026998
1701026999
这种情况与棒球冠军赛有点儿相似。如果是费城人队和老虎队对决，大多数人认为费城人队获胜的可能性更大。假定他们每场比赛获胜的概率为51%，那么费城人队以四胜三负的成绩拿下棒球冠军赛的概率，就会大于以三胜四负的成绩输掉比赛的概率。如果棒球冠军赛采用的不是七场四胜制，而是一共有15场比赛，那么费城人队的获胜优势将会更大。
1701027000
1701027001
孔多塞所谓的“陪审团定理”（jury theorem）表明，如果陪审团成员足够多，只要这些成员有公正心，哪怕只是一点儿，陪审团的决定就很有可能是正确的。孔多塞指出，我们必须把这个结论看成是一个正确有力的证据。从数学角度看，即使某个大多数人认同的观点与我们已有的观点相矛盾，只要认同这个观点的人数足够多，我们就有充分的理由相信它。孔多塞说：“是否采取某种行动，不能仅凭我自己认为合理就贸然行事，而要将大多数人的观点加以提炼，得出的结论必须有理有据、切实可行，才可以采取行动。”陪审团的作用就像电视节目《百万富翁》（Who Wants to Be a Millionaire？）的观众。孔多塞认为，在我们向一个集体提出质疑的时候，即使这个集体是一群不知名、资质较浅的同行，我们也应该重视他们的意见。
1701027002
1701027003
因为孔多塞这种近乎死板的行事方式，那些有科学天赋的美国政治家们（例如，与孔多塞一样热衷于度量标准化的托马斯·杰斐逊）对他青眼有加。但是，约翰·亚当斯（John Adams）非常不喜欢孔多塞，在阅读孔多塞的著作时，他在批注中评价孔多塞是“江湖骗子”“伪数学专家”。在亚当斯看来，孔多塞就是一个绝望的理论家，因为屡屡在实践中遭遇失败而脾气暴躁，而且他还对有同样倾向的杰斐逊产生了非常糟糕的影响。尽管孔多塞在数学知识的启迪下起草了吉伦特宪法，并制定了非常复杂的选举制度，但无论是法国还是其他国家都没有采纳这部宪法。孔多塞坚持认为女性也应当享有那些人们广泛议论的人权，在当时这个观点几乎是孔多塞的一家之言，但这也是他做出的积极贡献之一。
1701027004
1701027005
1770年，27岁的孔多塞与他的数学老师、《百科全书》（Encylopédie）的编者之一让·勒朗·达朗贝尔，来到了瑞士边界的费尼，对住在这里的伏尔泰进行了一次历时较长的拜访。对数学情有独钟的伏尔泰当时已年过七旬，老态龙钟，他很快就对孔多塞欣赏有加，觉得这个年轻人很有前途。伏尔泰希望能把启蒙运动的理性主义原则传承给新一代的法国思想家，孔多塞正是实现这个希望的最佳人选。孔多塞曾经代表法国皇家科学院执笔撰写拉孔达明的悼词，拉孔达明是伏尔泰的老朋友，通过彩票帮助伏尔泰赚了一大笔钱。孔多塞之所以赢得了伏尔泰的好感，这可能也是原因之一。伏尔泰与孔多塞很快建立起联系，二人书信往来频繁。通过与孔多塞的交流，伏尔泰得以及时掌握巴黎的政治动态。