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想象一下，如果有人通过一个复杂的几何证明过程，发现欧几里得公理会不可避免地导致自相矛盾的情况，那会造成什么样的结果呢？真的不可能出现这样的情况吗？我要提醒大家的是，几何学中藏匿着很多神秘现象。1924年，斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）与阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）发现，把一个球体分成6块之后，通过移动可以重新拼成与之前的球体大小相同的两个球体。这怎么可能呢？这是因为根据对三维物体及其体积、运动等的经验，我们可能相信某些自然形成的公理，但是这些公理不全是正确的，尽管我们直觉上认为它们似乎没有问题。当然，巴拿赫–塔斯基的这些小块具有无限复杂的形状，在天然的物理世界中是无法实现的。因此，购买一个铂球，分割成巴拿赫–塔斯基小块，然后拼成两个新的铂球，再重复上述步骤，最终得到一大堆贵重金属铂，这样的尝试是不可能成功的。
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如果欧几里得公理中存在自相矛盾的情况，几何学家就会有五雷轰顶的感觉。这是非常正常的反应，因为真的出现这种情况的话，就意味着构成他们研究基础的那些公理中有一个甚至多个是不正确的。我们甚至可以更加不客气地认为，如果欧几里得公理出现自相矛盾的情况，那么欧几里得所定义的点、线与圆根本不存在。
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当孔多塞公理遭遇孔多塞悖论之后，也会面临这样的糟糕局面。在前文的饼形图中，孔多塞公理指出蒙特尔不可能当选，因为他在与赖特的对决中败北了。同样，赖特输给了基斯，而基斯又被蒙特尔击败，所以他们也不可能当选。因此，所谓的民意根本不存在。
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孔多塞悖论对他在逻辑基础上建立起来的孔多塞公理提出了一个巨大的挑战。如果存在客观、正确的候选人排序方法，那么基斯比赖特强、赖特比蒙特尔强而蒙特尔又比基斯强的情况，就几乎不可能出现。孔多塞被迫承认，在这些例子面前，他的公理必须加以修改：多数人的意见有时也可能是错误的。但是，如何透过矛盾的迷雾了解人们的真实意图，仍然是一个悬而未决的问题，因为孔多塞从来没有想到所谓的民意根本就不存在。
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[1]新闻界还提供了更多的数据。2013年5月，美国有线电视新闻网民意研究中心的一次民意调查发现，43%的人支持《平价医疗法案》，35%的人认为该法案过于慷慨，16%的人则认为它不够慷慨。
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022636]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第18章 一个凭空创造出来的新奇世界
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孔多塞认为，“谁是最佳领导人”之类的问题都有一个正确答案。他还认为，公民就是研究此类问题的某种科学工具，虽然这种工具会有测量失准的风险，但总体来讲最终是能够得出准确结果的。在他看来，民主与少数服从多数原则都不可能错，都能通过数学方法得到验证。
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现在，讨论民主的方式已经发生了改变。对我们大多数人而言，民主的选择方案之所以有吸引力，原因在于其公平性。我们讨论的是公民的权利，认为人民应当可以选择自己的领导人（无论他们的选择是否明智），并把这个信条视为道德的基础。
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不仅政治如此，思维活动的所有领域都应该遵从这一基本认识：我们是不是正在考虑是非问题，或者正在思考我们所遵循的规则与程序允许哪些结论呢？这两个概念通常是一致的，但是，一旦出现分歧，就会招致各种困难，并引发概念性问题。
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大家可能认为做出是非判断是我们应该做的事，但在涉及刑事案件时，情况有可能会发生变化。比如，被告确实有犯罪行为却无法宣判有罪（因为获取证据的方法不当），或者没有犯罪却因为某种原因被判有罪。在惩戒犯罪、释放无辜者与严格执行刑事审判程序之间，正义该如何做出选择呢？我们已经见识了费舍尔与内曼及皮尔逊之间的纷争，我们应该接受费舍尔的观点，想方设法弄清楚我们相信的假设中有哪些是正确的；还是根据内曼–皮尔逊的观点，根本不考虑假设是否正确的问题，而思考另一个问题：我们应该根据所选择的推理方法，证明哪些假设（无论真实与否）是正确的呢？
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即使在数学这个被普遍视为确定性乐土的领域中，我们也会遇到上述问题。而且，这些问题不是来自当代某个晦涩难懂的研究领域，而是存在于古老的经典几何学之中，即我们前文提及的欧几里得公理。它的第五条是：
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如果P是一个点，L是不经过P的一条直线，那么有且只有一条直线通过点P且与L平行。
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这条公理是不是有点儿古怪呢？与其余4条公理相比，它复杂得多，而且不是那么显而易见。不管怎么说，几百年以来，几何学家们都有这种感觉。人们认为欧几里得本人也不喜欢这条公理，因为他在证明《几何原本》的前28个命题时只使用了前4条公理。
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简洁性有所欠缺的公理就像角落里地板上的污点一样，从本质上讲不会造成麻烦，但却令人无法容忍，因此我们会花大量时间擦拭污点，想让地板变得光亮整洁。数学中的“抛光”工作就是要证明第五条公理，即所谓的“平行公设”是由其他公理推导得出的。如果确实如此，人们就可以把它从欧几里得公理中剔除出去，使欧几里得公理一尘不染、熠熠生辉。
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在经过两千年的擦拭之后，这个“污点”还在那里。
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1820年，匈牙利贵族法卡斯·波尔约（Farkas Bolyai）在多年探索该问题无果之后，送给他的儿子雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）以下忠告：
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你千万不要走尝试证明平行公设这条路，我非常清楚走这条路的最终结果。这是一条不归之路，在我走上这条路后，我的人生丧失了所有光明与欢乐。我恳求你不要去研究平行问题……为了去除几何学中的瑕疵，还人类一门完美无缺的科学，我甘愿献出自己的生命。在我历尽艰辛之后，取得了远胜于同行的成果，但是我仍然没有得偿所愿……在发现没有人可以走完这段黑暗历程之后，我终于退缩了，没有得到任何安慰，内心充满了对自己、对整个人类的怜悯之情。你一定要吸取我的教训……
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不是所有人都会接受父亲的建议，数学家也不会轻言放弃。小波尔约持之以恒地研究平行问题，终于在1823年粗略回答了这个古老的问题。他在给父亲的信中说：
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我有了一些奇妙的发现，连我自己都震惊不已。如果忽视这些发现，将造成永远无法弥补的损失。亲爱的父亲，等你看到我的这些成果你就会明白，但现在我只能告诉你：我凭空创造了一个新奇的世界。
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在研究这个问题时，小波尔约另辟蹊径，不是试图通过其他公理来证明平行公设，而是充分发挥想象力，采取了逆向研究的方式。他想，如果平行公设是错误的，会产生什么结果呢，会不会得出自相矛盾的结论？随后，他发现这个问题的答案是否定的，因为有一门几何学与欧几里得几何学不同。在这门几何学中，前4个公理都是正确的，但平行公设却是错误的。因此，不可能用其他公理来证明平行公设，否则波尔约几何学就不可能存在。但问题是，波尔约几何学的确存在。
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有时候，数学成果会出现“撞车”现象。在数学界终于迎来某个突破时，这种突破竟然会在几个地方同时发生。为什么会出现这种情况，原因还不得而知。当小波尔约在奥匈帝国埋头构建非欧几里得几何学时，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevskii）正在俄罗斯开展同样的工作，而老波尔约的老朋友高斯已经完成了很多类似的研究工作，只不过还没有发表。（在听说了小波尔约的论文之后，高斯有失风度地说：“如果我赞扬他的成果，那就是赞扬我自己。”）