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为什么要从事这种背道而驰的研究呢？采用这种做法有两个比较充分的理由。第一个理由是，我们有可能犯错误。如果一个说法其实是错误的，但我们却以为并尝试证明它是正确的，那么我们必将徒劳无功。如果利用白天以外的时间来反证，就可以避免耗费太多的时间与精力。
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第二个理由是，如果我们试图证明某个正确的观点或想法是错误的，那么我们必将失败。我们习惯于认为失败不是一件好事，但并不是所有的失败都是坏事，因为我们也可以从失败中学到一些东西。我们用一种方法证明某个说法是错误的，结果没成功，然后我们换另一种方法，结果再次遭遇失败。每一次失败的尝试都会让我们遇到一堵墙，如果运气好，这一堵堵墙会连成一片，关于该定理的正确证明方法就会呈现在我们面前。如果能够彻底地了解失败的原因，我们就很有可能从中发现该说法正确的原因。小波尔约没有接受父亲善意的建议，而是像很多前辈一样，持之以恒地尝试证明平行公设是由欧几里得的前4条公理推导而来的。他同样遭遇了失败，但不同的是，他对自己的失败理解得非常透彻。他在证明不符合平行假设的几何体并不存在时屡屡碰壁，正是因为这种几何体其实是存在的。每次失败之后，他都对这个本以为不存在的几何体的特征更加了解，直到最终看到它的庐山真面目。
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白天证明、晚上反证的做法不仅适用于数学，还可以对我们的社会、政治、科学与哲学理念施加压力。在白天时，尽可以相信自己的理念是正确的，但是到了晚上，则认真思考自己的理念是不是错误的。不要自欺欺人！尽管我们并不相信这些理念是错误的，在思考时也要尽可能地让自己相信它们是不正确的。如果我们无法摆脱现有理念的束缚，则说明我们对自己深信不疑的理由有了更深入的了解，离找到证明方法也就更近了一步。
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我在这里说句题外话。上面介绍的这种有益的脑力锻炼与斯科特·菲茨杰拉德所说的远不是一回事。1936年，菲茨杰拉德在散文《崩溃》（The Crack-Up）中描述了自己处于破产、无助的状态，表明了他的态度——相互矛盾的理念可以并存于头脑之中。当时，在他思想中相互矛盾的两个理念是“努力奋斗的徒劳感与奋力拼搏的必要性”。塞缪尔·贝克特（Samuel Beckett）的表达更加简洁：“我必将死去，但我还会继续活着。”菲茨杰拉德所谓的“一流的智力”，是对自己智力水平的否认。他认为，在矛盾的压力之下，他已经名存实亡，过着行尸走肉的生活。这样的命运与弗雷格的集合论，以及在库克悖论的侵扰下停止运行的机器人没有多少区别。（“家燕”乐队的《骑墙》这首歌中的另外两句歌词堪称《崩溃》的浓缩版本：“我从一开始就欺骗自己/我发现自己正在走向崩溃。”）菲茨杰拉德因为自我怀疑而气馁，继而萎靡不振，整天沉溺于写作与反省之中，西奥多·罗斯福最厌恶这种自艾自怜的文学青年。
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华莱士对悖论也充满兴趣。华莱士延续着自己在数学研究中的风格，将罗素悖论作为自己的第一部小说《命运的笤帚》（The Broom of the System）的主题。如果说他的创作动机源自与矛盾的抗争，这个说法可能有点儿过了。华莱士喜欢采用技术与分析的方法去抵御毒品、绝望以及荒谬的唯我论，但是他认为简简单单的宗教格言与自助书籍的效果更好。他非常清楚，作家在写作时应该站在其他人的立场上去思考问题，但是写作的主要目的则应该是揭示思想对自我的禁锢。他决心记录并消除先入为主的偏见给自己带来的影响，但是他也知道，一旦做出这个决定，其本身就是一种偏见，而且他会受到这些偏见的影响。毫无疑问，这是“哲学101”课程中所讨论的问题，但是数学系的学生都知道，我们在大学一年级遇到的某些老问题的内容非常深奥。华莱士与悖论之间的纠葛在数学研究中并不鲜见。我们认为两个假设似乎相互矛盾，于是我们开始研究它们。在大脑中同时装入相互矛盾的两个假设，按部就班地梳理矛盾，区分知识与理念，逐一审视这两个假设，直到最终发现真理，或者尽可能地接近真理。
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至于贝克特，他的矛盾观更加意味深长，这在他的作品中有所反映，而且充满感情色彩。“我必将死去，但我还会继续活着”，这句话让我们感受到他的心灰意冷。与此同时，贝克特也会运用毕达哥拉斯门徒证明2的平方根是无理数的方法，把它变成醉汉之间的玩笑。
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“别骗我，”尼亚里说，“否则等待你的将是希帕索斯的下场。”
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“你说的是那位声闻家吧？”魏利（Wylie）说，“我一下子想不起来他到底遭受什么惩罚了。”
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“被扔到水里淹死了。”尼亚里说，“因为他泄露了直角三角形的直角边与斜边不可通约的秘密。”
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“爱唠叨的人都会倒霉。”魏利说。
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我不知道贝克特在数学上的造诣到底有多深，但是在散文《最糟糕，嗯》（Worstward Ho）中，他用非常简洁的语言高度概括了在数学研究中失败的价值。
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曾经尝试过，也失败过，但是没关系，再尝试、再失败，每一次失败都是进步。
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我们每时每刻都会用到数学知识
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本书中提及的这些数学家提出了各种无法证明的不确定性，但他们的目的并不是让我们感到泄气，他们也不仅仅是一些重要的批评家，他们都在数学领域有所发现、有所建树。例如，高尔顿提出了回归平均值的概念；孔多塞建立了新的社会决策模式；小波尔约创建了全新的几何学——一个“新奇的世界”；香农与海明提出了自己的几何学，用圆与三角形代替数字符号构建出新的空间；瓦尔德为飞机在必要的位置加装了装甲。
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所有的数学家都做出了自己的贡献，有的非常重要，有的略逊一筹。关于数学的文献作品都具有创新性：我们在数学领域创造的实体不会受到物理知识的限制，可能是有限的，也可能是无穷的；可能存在于我们的现实世界中，也可能只存在于想象中。正因为这样，外行有时会以为数学家整日沉溺于幻想的世界中，满脑子都是危险的虚构场景，有可能导致数学造诣不深的人发狂，甚至走火入魔。
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但是，我们知道，这种观点是不正确的。数学家不是疯子，不是外星人，也不是神秘主义者。
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事实上，数学方面的顿悟（突然之间对正在发生的事有了清晰的了解）具有特殊性，而在生活的其他方面则几乎不可能有类似的感觉。一旦产生这种顿悟，我们就会觉得自己触及宇宙的本质，将要揭开惊天的秘密，但这种感觉只可意会不可言传。
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对于我们创造的新实体，我们也不能为所欲为。我们需要为它们下定义，在有了定义之后，它们就不再是虚构的东西，而是像树木与鱼虾一样，具有特定的内涵。数学研究从头到尾都让人充满激情，同时要受到理性的束缚。但这并不矛盾，逻辑会给我们留出一点儿狭小的缝隙，当直觉穿过这道缝隙之后将会发出耀眼的光芒。
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数学给我们的教训非常简单，与数字无关。数学告诉我们：世界是有结构的；我们可以期待去了解它的部分结构，但不可能像我们想象的那样一蹴而就；在披上形式主义的外衣之后，我们的直觉将会变得更加强大。数学上的确定性，与我们在日常生活中形成的信念并不是一回事，后者的确定程度不及前者，我们必须充分认识到两者之间的区别。
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数学是常识的衍生物，有的活动虽然没有被表示成一个方程式，或者被画成一幅图，却同样属于数学活动。例如，你会发现好的东西未必是更优的选择；在机会足够多的情况下不可能的事情也会发生，并因此抵制住巴尔的摩股票经纪人的诱惑；决策时不仅要考虑所有可能的未来，还要考虑所有可能事件的影响，密切关注哪些事件可能发生、哪些事件不太可能发生；摒弃群体信念与个体信念应当遵循相同规则的认识；为认知找到最佳的平衡点，使直觉在形式主义推理铺设的康庄大道上自由驰骋。你打算什么时候应用你学到的数学知识呢？事实上，从你呱呱坠地开始，你可能就一直在使用这些数学知识。从现在开始，充分利用这些数学知识吧。
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[1]科特·柯本（1967~1994），美国已故著名摇滚歌手。——译者注
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[2]2008年美国参议院选举期间，时事评论员阿尔·弗兰肯和在任参议员诺姆·科尔曼之间展开激烈角逐。在选举过程中，科尔曼指责弗兰肯是潜伏在人类当中的“蜥蜴人”。
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[3]库克船长是电影《星际迷航》（Star Trek）中的一个虚构角色。——译者注
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