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本书中提及的这些数学家提出了各种无法证明的不确定性，但他们的目的并不是让我们感到泄气，他们也不仅仅是一些重要的批评家，他们都在数学领域有所发现、有所建树。例如，高尔顿提出了回归平均值的概念；孔多塞建立了新的社会决策模式；小波尔约创建了全新的几何学——一个“新奇的世界”；香农与海明提出了自己的几何学，用圆与三角形代替数字符号构建出新的空间；瓦尔德为飞机在必要的位置加装了装甲。
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所有的数学家都做出了自己的贡献，有的非常重要，有的略逊一筹。关于数学的文献作品都具有创新性：我们在数学领域创造的实体不会受到物理知识的限制，可能是有限的，也可能是无穷的；可能存在于我们的现实世界中，也可能只存在于想象中。正因为这样，外行有时会以为数学家整日沉溺于幻想的世界中，满脑子都是危险的虚构场景，有可能导致数学造诣不深的人发狂，甚至走火入魔。
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但是，我们知道，这种观点是不正确的。数学家不是疯子，不是外星人，也不是神秘主义者。
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事实上，数学方面的顿悟（突然之间对正在发生的事有了清晰的了解）具有特殊性，而在生活的其他方面则几乎不可能有类似的感觉。一旦产生这种顿悟，我们就会觉得自己触及宇宙的本质，将要揭开惊天的秘密，但这种感觉只可意会不可言传。
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对于我们创造的新实体，我们也不能为所欲为。我们需要为它们下定义，在有了定义之后，它们就不再是虚构的东西，而是像树木与鱼虾一样，具有特定的内涵。数学研究从头到尾都让人充满激情，同时要受到理性的束缚。但这并不矛盾，逻辑会给我们留出一点儿狭小的缝隙，当直觉穿过这道缝隙之后将会发出耀眼的光芒。
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数学给我们的教训非常简单，与数字无关。数学告诉我们：世界是有结构的；我们可以期待去了解它的部分结构，但不可能像我们想象的那样一蹴而就；在披上形式主义的外衣之后，我们的直觉将会变得更加强大。数学上的确定性，与我们在日常生活中形成的信念并不是一回事，后者的确定程度不及前者，我们必须充分认识到两者之间的区别。
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数学是常识的衍生物，有的活动虽然没有被表示成一个方程式，或者被画成一幅图，却同样属于数学活动。例如，你会发现好的东西未必是更优的选择；在机会足够多的情况下不可能的事情也会发生，并因此抵制住巴尔的摩股票经纪人的诱惑；决策时不仅要考虑所有可能的未来，还要考虑所有可能事件的影响，密切关注哪些事件可能发生、哪些事件不太可能发生；摒弃群体信念与个体信念应当遵循相同规则的认识；为认知找到最佳的平衡点，使直觉在形式主义推理铺设的康庄大道上自由驰骋。你打算什么时候应用你学到的数学知识呢？事实上，从你呱呱坠地开始，你可能就一直在使用这些数学知识。从现在开始，充分利用这些数学知识吧。
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[1]科特·柯本（1967~1994），美国已故著名摇滚歌手。——译者注
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[2]2008年美国参议院选举期间，时事评论员阿尔·弗兰肯和在任参议员诺姆·科尔曼之间展开激烈角逐。在选举过程中，科尔曼指责弗兰肯是潜伏在人类当中的“蜥蜴人”。
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[3]库克船长是电影《星际迷航》（Star Trek）中的一个虚构角色。——译者注
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 致谢
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从撰写本书的念头产生之日算起，到本书出版之时已经有8个年头了。本书的成功问世，证明我的代理人杰伊·曼德尔非常专业，指导有方。多年来，他总是耐心地询问我是否准备写点儿什么，在我终于给出肯定的回答之后，他又帮助我不断完善“我希望发出振聋发聩的声音，告诉人们数学的重要性”这个想法，并把它变成了一本名副其实的书。
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本书由企鹅出版社出版，这让我感到非常荣幸，因为长期以来，专业学者可以在埋头钻研的闲暇，以这家出版社为平台，向广大读者介绍自己的研究成果。考林·迪克曼在本书即将定稿时阅读了全文，斯科特·莫耶斯给出了最终的修改意见，他们都非常理解我这个写作新手，对本书的初稿做了大量的改进，使我获益良多。此外，企鹅出版社的麦莉·安德森、阿奇夫·赛非、萨拉·豪特森和利兹·卡拉玛丽以及英国企鹅出版社的劳拉·斯蒂科尼也给了我大量的建议与帮助。
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我还要感谢《石板》（Slate）杂志的编辑，特别是乔希·列维、杰克·谢弗与戴维·普劳茨。2001年，他们决定在《石板》杂志上开设数学专栏，邀请我给这个专栏撰稿，让我学会了如何能让非数学专业的人读懂我写的文章。本书部分内容改写自《石板》杂志的专栏文章，经过编辑的内容让我的写作事半功倍。此外，我还要感谢《纽约时报》《华盛顿邮报》《波士顿环球报》《华尔街日报》的编辑。（本书部分内容改写自我发表在《华盛顿邮报》与《波士顿环球报》上的文章。）我特别感谢《信徒》（Believer）杂志的海蒂·尤拉维奇和《连线》（Wired）杂志的尼古拉斯·汤普森，在他们的引导下，我开始写作长文章，并学会如何写作数学方面的文章，才会让人们一口气阅读几千字而不会感到厌烦。
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伊莉丝·克雷格高质量地完成了本书内容准确性的查证工作，如果本书出现错误，那肯定是其他方面的错误。格雷格·维尔皮格负责本书的编辑加工，改正了语法与文字方面的很多错误，而且不厌其烦地删除了大量不必要的连字符。
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我对数论的了解大多得益于我的博士生导师巴里·梅耶的教诲，他率先垂范，教导我如何在数学与思想、表达、感觉等模式之间建立起深入的联系。
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本书开头的罗素引语要归功于戴维·福斯特·华莱士。他在《跳跃的无穷》（Everything and More）一书的工作笔记中记录了这句话，打算在这本关于集合论的著作中以它为引语，但他最终改变了主意。
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本书有很大一部分内容是我在威斯康星大学麦迪逊分校任职期间利用公休假期完成的。威斯康星校友研究基金会将我的公休假期延长为一整年，为我提供了“鲁曼斯”基金，还安排麦迪逊分校的同事帮助我完成这个严格来讲算不上学术活动的特殊项目，在此向他们表示感谢。
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我还要感谢威斯康星州麦迪逊市门罗大街上的“橡木桶”咖啡店，本书的很多内容是在那里写的。
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在撰写本书的过程中，很多朋友、同事以及陌生人在仔细阅读书稿后提出了大量修改建议，他们是：劳拉·巴尔扎诺、梅雷迪思·布鲁萨尔、蒂姆·卡莫迪、蒂姆·周、詹妮·戴维森、乔恩·埃克哈特、史蒂夫·芬伯格、佩利·格雷彻、牧师联合会、吉尔·卡拉、伊马利·科瓦尔斯基、戴维·克拉考尔、劳伦·克劳兹、坦尼娅·拉蒂、马克·曼格尔、艾瑞卡·奥克伦特、约翰·奎金、本·雷希特、米歇尔·里根维特尔、伊恩·罗尔斯顿、尼西姆·施拉姆–施拉姆、施拉姆·塞尔贝、科斯马·萨利齐、米歇尔·施、巴里·西蒙、布拉德·斯奈德、埃利奥特·索伯、米兰达·斯皮勒尔、贾森·斯泰因伯格、哈尔·斯特恩、斯蒂芬妮·泰、鲍勃·汤普尔、拉维·瓦基勒、罗伯特·沃德罗普、埃里克·维普斯克、利兰·威尔金森和珍妮·维茨。这份名单肯定有遗漏，对没有提及的那些人，我在此表示歉意。我还要特别感谢几位提供了重要反馈意见的读者：汤姆·斯科卡“吹毛求疵”地读完了全书；安德鲁·格尔曼与史蒂芬·施蒂格勒审核了我对统计学历史的描述；施蒂芬·波特核实了涉及诗歌的内容；亨利·科恩非常仔细地阅读了本书的很大一部分内容，并为我提供了温斯顿·丘吉尔关于射影平面的那段话；琳达·巴里鼓励我自己绘制插图；我的父母都是统计学专业人士，他们通读了本书，对过于抽象的内容，提出了修改意见。
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为了完成本书，我的很多周末时间都花在了写作上，为此我要感谢儿子和女儿的耐心。特别是我的儿子，他亲手为我绘制了一幅插图。我最应该感谢的人是坦妮娅·施拉姆，她是本书的第一位读者，从最开始的构思直至最后成书，都离不开她的支持和爱。在如何正确决策方面，她对我的帮助甚至超过了数学知识。
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