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1701029171 命题1：如果折扣参数w足够大，不存在独立于其他人所采用的策略的最好策略。
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1701029173 证明已在第一章给出。
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1701029175 第二个命题说：如果每一个人都采用“一报还一报”，且未来是足够重要的，那么，没有人能通过改变到其他策略而做得更好。
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1701029177 命题2：“一报还一报”是集体稳定的，当且仅当w至少比（T-R）/（T-P）和（T-R）/（R-S）中较大者更大。
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1701029179 证明：首先这个命题等价于这样一个说法：即如果“一报还一报”（TFT）既不能被“总是背叛”（ALL D）侵入，也不能被交替使用背叛和合作的策略侵入的话，“一报还一报”就是集体稳定的。
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1701029181 说“总是背叛”不能侵入“一报还一报”就是意味着V（ALL D|TFT）≤V（TFT|TFT）。当“总是背叛”遇到“一报还一报”，它在第一步得到T，而后都得到P，因此使V（ALL D|TFT）=T+wP（1-w）。因为“一报还一报”总是与它自己合作，所以V（TFT|TFT）=R|（1-w），因此，当T+wP/（1-w）≤R/（1-w），或T（1-w）+wP≤R，或T-R≤w（T-P），或w≥（T-R）/（T-P）时，“总是背叛”不能侵入“一报还一报”。相似地，“交替背叛和合作”不能侵入“一报还一报”即意味着（T+wS）/（1-w2）≤R/（1-w），或者（T-R）/（R-S）≤w。因此，w≥（T-R）/（T-P）和w≥（T-R）/（R-S）等价于说“一报还一报”不能被“总是背叛”和“交替背叛和合作”的策略侵入。这两个描述是等价的。
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1701029183 现在要证明第二个描述所包含的两个意义。第一个意义是通过简单观察来建立的，即如果“一报还一报”是集体稳定的策略，那么没有规则可以侵入它。因此这两个特殊的规则也不能。另一个要证明的意义是，如果“总是背叛”和“交替背叛和合作”的策略不能侵入“一报还一报”，那么没有策略能侵入“一报还一报”。“一报还一报”只有两种状态，取决于对方上一步的所为（在效果上第一步它假设对方刚合作过）。因此，如果策略A与“一报还一报”相遇，这个任意的策略A在选择C（合作）之后最好能做的就是选择D（背叛）或C。相似的是，策略A在选择D之后，能做得最好的就是选择C或D。因此，策略A遇见“一报还一报”能做得最好的有四个可能，即重复序列CC、CD、DC或DD。第一个和“一报还一报”与另一个“一报还一报”相遇时所做的一样，第二个不会比第一个和第三个做得好。这就意味着如果第三个和第四个不能侵入“一报还一报”，那么，没有策略能侵入它。这两个可能性分别等价于“交替背叛和合作”和“总是背叛”两个策略。因此，如果这两个都不能侵入“一报还一报”，则没有规则能侵入它，即“一报还一报”是一个集体稳定策略。证明完毕。
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1701029185 证明了什么情况下“一报还一报”是集体稳定策略，下一大步就是要给出所有集体稳定策略的特性。描述所有集体稳定策略的特性是基于这样一个想法，即如果公共的策略使得潜在入侵者比它仿效公共的策略情况更糟，那么这个侵入就能被防止。如果规则B能肯定不管规则A以后做什么，它都能使规则A的总得分足够低，那么，规则B就能防止规则A的侵入。这就引出了下面有用的定义：规则B在第n步对于A具有安全的地位，如果不管在第n步以后A做什么，假设B在第n步以后背叛，都有V（A|B）≤V（B|B）。让Vn（A|B）表示A在第n步前的折扣累积分数，那么说明B在第n步对A来说具有安全地位的另一种方式是：
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1701029187 Vn（A|B）+wn-1P/（1-w）≤V（B|B）
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1701029189 因为如果B背叛，那么A在第n步之后做得最好的所得就是每步得到P。
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1701029191 接下来的定理体现了这样一个建议，即：如果你要采用一个集体稳定策略，在你能够担得起对方占便宜且保持你的安全地位时你应该只是合作。
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1701029193 特性化定理：B是集体稳定策略，当且仅当，在对方累积得分足够大的第n步时B采取背叛，即当Vn（A|B）＞V（B|B）-wn-1［T+wP/（1-w）］。
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1701029195 参见阿克塞尔罗德的证明（Axelrod 1981）。
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1701029197 这个特性化定理以抽象的方式说明了，策略B若要是集体稳定的策略，在与对方相互作用的任意一点上作为相互作用的历史的函数，它必须如何做。[1]这是一个完整的特性，因为它是策略B是集体稳定的这一点的必要且充分的条件。
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1701029199 从这个定理还可以看到两个附加的关于集体稳定策略的结论。首先，只要对方还没有积累太大的得分，一个策略可以灵活地采用合作或背叛且还能保持集体稳定性。这种灵活性解释了为什么有许多典型的策略是集体稳定的。第二个结论是，一个善良的规则（从不首先背叛的规则）具有最大的灵活性，因为当它与相同的规则相遇时能得到最高可能的得分。换句话说，因为善良规则相互之间相处得如此好，使得它对潜在的入侵者比其他规则有更大的宽宏。
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1701029201 命题2表明，只有在未来是足够重要时，“一报还一报”才是集体稳定的，下一个命题用特性化定理来说明这个结论是很普遍的。事实上它对任何可能首先合作的策略都有效。
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1701029203 命题3：任何可能首先合作的策略B，只有在w足够大时，才能是集体稳定的。
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1701029205 证明：如果B在第一步合作，那么V（ALL D|B）≥T+wP/（1-w）。但是对任何的B，R/（1-w）≥V（B|B），因为R是B与另一个B相遇在囚徒困境的假设R＞P和（S+T）/2的情况下所能做得最好的。因此在T+wP/（1-w）＞R/（1-w）时，V（ALL D|B）＞V（B|B）。这意味着当w＜（T-R）/（T-P）时，“总是背叛”策略能侵入在第一步合作的B。如果B有一个正的机会在第一步合作，那么，只有w足够大，V（ALL D|B）才不会超过V1（B|B）。同样，如果B在第n步前不会首先合作，Vn（ALL D|B）=Vn（B|B），那么，只有w足够大，Vn+1（ALL D|B）才不会超过Vn+1（B|B）。
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1701029207 如前所述，特性化定理的结论是一个善良的规则有最大的灵活性。可是善良规则的灵活性如以下定理所示不是无限的。事实上，一个善良的规则必须是能被对方的第一次背叛所激怒，即在某步，这个规则有一个有限的机会用自己的背叛来报复。
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1701029209 命题4：一个善良策略要成为集体稳定的，它必须能被对方的第一个背叛所激怒。
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1701029211 证明：如果一个善良的策略不能被一个在第n步背叛的规则所激怒，那么它就不是集体稳定的，因为它能被只在第n步背叛的规则侵入。
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1701029213 不管w和报酬参数T、R、P和S的值如何，有一个策略总是集体稳定的，这个策略就是“总是背叛”。
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1701029215 命题5：“总是背叛”的策略总是集体稳定的。
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1701029217 证明：因为“总是背叛”的策略采用的是一直背叛，即在特性化定理条件要求的任何时候它都背叛，所以它是集体稳定的。
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1701029219 这就是说一个“小人”的世界能阻止采用其他策略的任何人的侵入，如果新来者每次只有一个的话。所以为了合作的进化能够进行，这个新来者必须是一个小群体。假设新来者A相对于已建立起群体的B是稀少的。积累在一起的A能为它们自己相互作用的环境提供一个有意义的部分，但它是B的环境可忽略的部分。因此，你可以说A的p小群体侵入B，如果PV（A|A）+（1-p）V（B|B）＞V（B|B），这里p是采用A策略的人与采用相同策略的人相互作用所占的比例。解出p意味着，如果新来者之间有足够的相互作用，这种侵入是可能的。
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