打字猴:1.701029208e+09

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1701029209 命题4：一个善良策略要成为集体稳定的，它必须能被对方的第一个背叛所激怒。

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1701029211 证明：如果一个善良的策略不能被一个在第n步背叛的规则所激怒，那么它就不是集体稳定的，因为它能被只在第n步背叛的规则侵入。

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1701029213 不管w和报酬参数T、R、P和S的值如何，有一个策略总是集体稳定的，这个策略就是“总是背叛”。

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1701029215 命题5：“总是背叛”的策略总是集体稳定的。

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1701029217 证明：因为“总是背叛”的策略采用的是一直背叛，即在特性化定理条件要求的任何时候它都背叛，所以它是集体稳定的。

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1701029219 这就是说一个“小人”的世界能阻止采用其他策略的任何人的侵入，如果新来者每次只有一个的话。所以为了合作的进化能够进行，这个新来者必须是一个小群体。假设新来者A相对于已建立起群体的B是稀少的。积累在一起的A能为它们自己相互作用的环境提供一个有意义的部分，但它是B的环境可忽略的部分。因此，你可以说A的p小群体侵入B，如果PV（A|A）+（1-p）V（B|B）＞V（B|B），这里p是采用A策略的人与采用相同策略的人相互作用所占的比例。解出p意味着，如果新来者之间有足够的相互作用，这种侵入是可能的。

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1701029221 要注意，这里假设的相互作用的配对不是随机的，在随机配对情况下，一个A很少可能遇上另一个A。小群体的概念把这个情况处理成A是B的环境可忽略的部分，但是是其他A的有意义的部分。

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1701029223 第三章的数值例子说明，事实上的小群体侵入是惊人的容易，例如，在标准参数值T=5，R=3，P=1和S=0，及w=0.9的情况下，“一报还一报”的小群体只要有5%的相互作用是与小群体中成员进行的，它就能侵入“小人”的群体。

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1701029225 人们可能会问，当新来者的数量发展起来使得它们不再是原来策略可以忽略的部分时，会发生什么情况。随着新来者的比例的增长，它们对避免随机混合的要求就降低了。假设新来者占完全随机混合时的百分比是q，当qV（A|A）+（1-q）V（A|B）＞qV（B|A）+（1-q）V（B|B）时，新来者比原来的策略干得好。用“一报还一报”侵入“总是背叛”为例，在标准支付值情况下要求q＞1/17。因此，只要新来者变成整个群体的一部分，它就能在随机混合中发展。

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1701029227 这个发展的过程开始于只占整个群体的可以忽略的比例的小群体。它的成员只要有一个小的机会p，彼此相遇，它就能站稳脚跟。然后，一旦这个新的策略成长起来，它就能更少地依赖于非随机的混合。最终，当它的成员变成占整个群体的一个小的百分比q时，它就能够在完全随机混合的情况下持续发展。

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1701029229 下一个结果说明哪些策略能以最小的群体最有效地侵入“总是背叛”的策略。这是那些最能把它们自己和“总是背叛”区分开来的策略。如果一个策略即使在对方从不合作的情况下，它也会合作。当它一旦合作，它就决不会再与“总是背叛”合作，但它总会与另一个相同的策略合作。这样的策略就是最大区别的。

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1701029231 命题6：能以具有最小的p值的小群体侵入“总是背叛”的策略是那些具有最大区别力的策略，如“一报还一报”。

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1701029233 证明：为了能够侵入“总是背叛”，一个规则必须有一个正的机会首先合作，与另一个相同规则随机合作不如确定性的合作好。因为随机合作使S和T等概率出现，在囚徒困境中（S+T）/2＜R。因此，一个能以最小p值侵入的策略必须在第n步首先合作，即使对方一直没有合作。A的p小群体能侵入B的定义意味着以最小p值侵入B等于“总是背叛”的规则是那些具有最小p*值的规则，这里p*=［V（B|B）-V（A|B）］/［V（A|A）-V（A|B）］。因为V（A|A）＞V（B|B）＞V（A|B），当V（A|A）和V（A|B）最大时（服从于A在第n步首先合作的约束），p*是最小的。V（A|A）和V（A|B）的最大化只有当且仅当A是最大区别的规则时，才满足这个约束。（顺便提一下，当A开始合作时，不用管p的最小值。）“一报还一报”就是这样一个策略，因为它总是在n=1时合作，它和“总是背叛”只合作一次，而它与另一个“一报还一报”总是合作。

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1701029235 下一个命题证明善良的规则（那些决不首先背叛的策略）在保护它们自己不受小群体侵入方面确实比其他规则表现得好。

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1701029237 命题7：如果一个善良的策略不能被一个单一的个体侵入，它也就不能被这种个体的任何小群体侵入。

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1701029241 最后的结果是讨论对策者只和邻居相互作用的领地系统。每一代，每个对策者得到一个成功的得分，它是与邻居的成绩的平均值。如果一个对策者有一个或更多的邻居是比它更成功的，它就转变到它们当中最成功的策略者（在邻居都是最成功的时候就采用随机的办法选择一个）。

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1701029243 侵入和稳定的概念通过以下方式扩展到领地系统。假设采用策略A的单一个体被引入到一个其他个体都采用策略B的地方中。如果领地中的每一个地方最终都转变到策略A，那么就可以说A领地侵入B。如果没有策略能侵入B，则说明策略B是领地稳定的。

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1701029245 这就引出一个很强的结果。

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1701029247 命题8：如果一个规则是集体稳定的，它也是领地稳定的。

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1701029249 第八章给出的证明是基于矩形网络的领地系统，这个证明可以立即扩展到任何不是太紧密相互连接的领地系统。特别地，它可以用在具有对于每一个点来说存在一个邻居，这个邻居的邻居不是原来那个点的邻居的特性的任何系统。

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1701029251 这说明了在领地系统中防止入侵至少不比在自由混合系统中更困难。它的一个重要的隐含意义是，在一个（不是太紧密连接的）领地系统中双方合作的维持至少不比在自由混合系统中更困难。

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1701029253 [1]准确地说，V（B|B）也必须被事先说明。例如，如果B从不首先背叛，则V=（B|B）=R（1-w）。

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