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命题6：能以具有最小的p值的小群体侵入“总是背叛”的策略是那些具有最大区别力的策略，如“一报还一报”。
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证明：为了能够侵入“总是背叛”，一个规则必须有一个正的机会首先合作，与另一个相同规则随机合作不如确定性的合作好。因为随机合作使S和T等概率出现，在囚徒困境中（S+T）/2＜R。因此，一个能以最小p值侵入的策略必须在第n步首先合作，即使对方一直没有合作。A的p小群体能侵入B的定义意味着以最小p值侵入B等于“总是背叛”的规则是那些具有最小p*值的规则，这里p*=［V（B|B）-V（A|B）］/［V（A|A）-V（A|B）］。因为V（A|A）＞V（B|B）＞V（A|B），当V（A|A）和V（A|B）最大时（服从于A在第n步首先合作的约束），p*是最小的。V（A|A）和V（A|B）的最大化只有当且仅当A是最大区别的规则时，才满足这个约束。（顺便提一下，当A开始合作时，不用管p的最小值。）“一报还一报”就是这样一个策略，因为它总是在n=1时合作，它和“总是背叛”只合作一次，而它与另一个“一报还一报”总是合作。
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下一个命题证明善良的规则（那些决不首先背叛的策略）在保护它们自己不受小群体侵入方面确实比其他规则表现得好。
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命题7：如果一个善良的策略不能被一个单一的个体侵入，它也就不能被这种个体的任何小群体侵入。
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证明：为了使规则A的小群体能侵入规则B的群体，就必须有一个p≤1使得pV（A|A）+（1-p）V（A|B）＞V（B|B）。但是如果B是善良的，那么V（A|A）≤V（B|B）。这是因为V（B|B）=R/（1-w）是当对方是相同策略时所能获得的最大值（因为R＞（S+T）/2）。由于V（A|A）≤V（B|B），那么只有V（A|A）＞V（B|B），A方可以一个小群体侵入，但这也就等价于单个个体可以侵入B。
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最后的结果是讨论对策者只和邻居相互作用的领地系统。每一代，每个对策者得到一个成功的得分，它是与邻居的成绩的平均值。如果一个对策者有一个或更多的邻居是比它更成功的，它就转变到它们当中最成功的策略者（在邻居都是最成功的时候就采用随机的办法选择一个）。
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侵入和稳定的概念通过以下方式扩展到领地系统。假设采用策略A的单一个体被引入到一个其他个体都采用策略B的地方中。如果领地中的每一个地方最终都转变到策略A，那么就可以说A领地侵入B。如果没有策略能侵入B，则说明策略B是领地稳定的。
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这就引出一个很强的结果。
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命题8：如果一个规则是集体稳定的，它也是领地稳定的。
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第八章给出的证明是基于矩形网络的领地系统，这个证明可以立即扩展到任何不是太紧密相互连接的领地系统。特别地，它可以用在具有对于每一个点来说存在一个邻居，这个邻居的邻居不是原来那个点的邻居的特性的任何系统。
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这说明了在领地系统中防止入侵至少不比在自由混合系统中更困难。它的一个重要的隐含意义是，在一个（不是太紧密连接的）领地系统中双方合作的维持至少不比在自由混合系统中更困难。
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[1]准确地说，V（B|B）也必须被事先说明。例如，如果B从不首先背叛，则V=（B|B）=R（1-w）。
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合作的进化（修订版） 参考文献
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