1701030089
1701030090
假设你是一个男孩[3]，而上帝在你20～30岁之间安排了20位适合你的女孩。这些女孩都愿意作为你的伴侣，但你只能选择其中的一位。对于你来说，这20位女孩的质量是可以排序的，也就是说事后你可以对她们的质量排名，排名第一的对你来说就是最好的，排名第二十的对你来说就是最差的。可惜的是，由于20位女孩不是同时出现在你的生命中，而是按时间先后出现，每出现一个你都要决定是留下或拒绝她。如果留下她，她就会成为你的伴侣，你将再没有权利选择后面的女孩；如果拒绝她，你还可以选择后面的女孩，但对前面已经拒绝的女孩将没有机会从头再来。
1701030091
1701030092
20位女孩的排名虽然可以在事后确定，但是在观察完20位女孩之前，你并不知道全部女孩的排名，你只知道已经观察过的女孩中谁比谁更好。而且，上帝是完全随机地安排每个时间段出现的女孩，即出现时间的先后与女孩的质量完全没有关系。那么，你应该在什么时候决定接受一位女孩，并且使得被接受的那位女孩属于最好女孩的概率最大呢？
1701030093
1701030094
当然，你可以采取与候车模型中“随便”策略类似的做法，抓阄来任意选定一位女孩。如果你这样做，那么你有5%的可能性获得最好的女孩。概率比较小，很难发生。
1701030095
1701030096
另一种看来复杂一点的策略是：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受。这就是“等一等、看一看”的策略。在这样的策略中，你得到最好女孩的概率似乎是（10/20）×（10/19）=0.263。这个概率已经不算太小。补充说明一下此策略中概率的算法：在这样的规则下，确保得到最好的女孩必然要求最好的女孩在后10名女孩中出现──否则你怎么也得不到最好的了──其概率是10/20，同时，还要求第二好的女孩出现在前10名，其概率为10/19──为什么是10/19？因为除了最好的，剩下人数为19个，第二好的女孩出现在前10名的概率就是10/19──这样就确保了你会得到最好的女孩。
1701030097
1701030098
但是，这个策略得到最好女孩的概率真的是0.263吗？可能不是，因为这只是第二好的女孩刚好出现在前10位的情况；实际上，即使第二好的女孩没有出现在先前的10位，但只要在最好的女孩出现之前的所有女孩中质量最高的出现在前10位，那么该策略也可确保得到最好的女孩（这一点要想通，否则就难以明白接下来的内容）。也就是说，该策略获得最好女孩的概率实际上是超过0.263的（我们很快会发现这个概率应是0.359 4。哇！这的确已经是一个不小的概率了）。
1701030099
1701030100
但是，还有更好的方法吗？或者我们可以问，放弃先出现的10位女孩是否是最优的？如果不是，那么应该放弃几位先出现的女孩呢？
1701030101
1701030102
1701030103
幸运的是，我们的确有更好的策略（你应该先把前面的内容看懂，如果前面没看懂，下面可能就更看不懂了）。既然20位质量不同的女孩其质量在你生命里是随机出现的，没有任何规律，那么，第k个女孩刚好是最好女孩的概率是1/20，而刚好把这个最好的女孩选择到的概率是多少？对此的考虑应该是：既然给定了第k个女孩质量最好，而我们决定放弃前面n-1位女孩，从第n位开始执行前述策略的规则（第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受），那么必须要求在k之前的女孩中质量排名最高的那个必须出现前n-1位女孩中，这样才能确保k被选中，其概率就是（n-1）/（k-1）。从而第k个女孩刚好是最好的女孩而且又一定被选中的概率就是（1/20）×（n-1）/（k-1）。这里，k的取值范围显然应该是[n，20]中的整数。所以，放弃n-1位女孩而一定会得到最可爱的那位女孩的概率实际上就是
1701030104
1701030105
这个概率可以用Mathematica软件来计算，或者用Excel来计算也可以[4]，读者会发现，当n*=8时，该概率有最大值0.3842。也就是说，如果我们放弃前7位女孩，先看一看，心里有个谱，然后只要看到比前7位女孩中最好的还要好的女孩，那么我们就立即选择接受。而这位被接受的女孩刚好属于最好女孩的概率是0.3842。这比我们放弃10位女孩（n*=11）的策略要好，该策略根据上述公式计算得出获得最好女孩的概率为0.3594。
1701030106
1701030107
我们用Mathematica软件绘出获得最好女孩的概率图形（纵轴是概率，横轴表示从第几位开始认真考虑接受。最大概率出现在n*=8，即放弃前7位，从第8位开始认真考虑接受，见图2-2）。
1701030108
1701030109
根据上述结果，我们可以得出这样的结论：若一个人在20～30岁之间选择结婚对象，而这20位女孩以每年两位的平均分布出现，那么你应当在24岁才开始认真考虑终身大事。
1701030110
1701030111
这个例子也可任意改动数据后用同样的方法求解。比如，如果是30位女孩，那么你应该从第11位女孩开始认真考虑终身大事[5]。
1701030112
1701030113
1701030114
1701030115
1701030116
图2-2 转向认真考虑婚姻选择的决策点
1701030117
1701030118
这个例子也可以改成其他的版本，比如：在20层楼中，每层楼都放着一颗宝石，每颗宝石的大小不一。现在你从第一层开始上楼，每到一层楼你都可以决定要不要该层楼中的宝石。如果不要，不能回头。如果要，以后就不能再取。或者，有20位求职者，你希望尽可能雇用到最好的那位，但你对他们的面试机会只有一次。你应该如何才可以有最大的机会获得最大的那颗宝石（最好的那位求职者）？这个问题，据说是微软公司的面试题。但它的道理，与最大可能获得女孩的道理是一样的。
1701030119
1701030120
由此还可引发出另外一重考虑：为什么在求职或演讲比赛之类的竞争场合，人们通常不愿作为第一个或前几个登台呢？而且越是好的越不愿意第一个登台呢？因为人们可能存在等一等、看一看的决策习惯，前几名往往只作为参照标准被评审人有意无意地放弃了[6]。
1701030121
1701030122
不要被概率愚弄
1701030123
1701030124
概率计算，是一项颇具挑战性的工作。事实上，大多数人都是概率方面的白痴。即使是一些数学专家犯错误也是常事。[7]专家尚且如此，普通大众被概率愚弄也就很正常了。下面是常见概率决策失误的例子。
1701030125
1701030126
一种常见错误是，人们往往有夸大小样本代表性的倾向。阿克洛夫（G.Akerlof，2001年诺贝尔经济学奖得主）1991年的一篇文章中提到了这种现象：
1701030127
1701030128
人们往往有夸大小样本代表性的倾向。
1701030129
1701030130
让我们假定，你想买一辆新车，并从价格经济和使用寿命角度考虑决定买沃尔沃或萨帕。作为精明的买家，你阅读了《消费者调查》获取相关信息，发现大多数专家认为沃尔沃的机械性能更好，大多数读者认为沃尔沃有良好的维修记录。在这些信息的武装下，你准备下周就去和沃尔沃销售商谈判。然而，在这个周末你参加了一次聚会，和一个熟人谈起你的打算，他的反应是质疑和警告：“买沃尔沃！不会是开玩笑吧？我姐夫有一辆沃尔沃，先是计油器出问题，然后是后备箱出问题，再后来是变速器和离合器。最后，不到三年就把那辆车当废品卖掉了。”
1701030131
1701030132
在这种情况下，你还会买沃尔沃吗？估计你会立即转向购买萨帕了。但是，仔细想想，你的朋友提供的信息，不过是在有关沃尔沃的大量样本信息中再加入一个样本信息而已，并不足以改变样本的平均值──也就是说，仅凭你朋友的一席话，并不足以改变原先支持你选择沃尔沃的理由。但是，现实中有多少人还能这样理性地思考呢？
1701030133
1701030134
人们也常常犯下以总体特征来推断小样本特征的错误。
1701030135
1701030136
类似地，人们也常常犯下以总体特征来推断小样本特征的错误。譬如许多人认为，一家医院中一年出生的小孩大致应该是男孩和女孩各占50%左右。事实上，很多小医院的出生性别比完全不是这样。一个城市的出生性别比可能是1：1，但这不等于在更小的单位也是如此。如果你不能理解小医院为什么通常不是1：1的性别比，那么你想想更小的单位，比如家庭，有多少家庭出生的小孩会是男孩女孩各占一半呢？读者有必要记住，小样本的特征不一定服从总体的特征，所以不能把总体的特征作为小样本特征的描述。当然，反过来也一样，小样本难以反映总体的情况，所以也不能把小样本特征当做总体特征。比如，不能看到几个没文化的人比几个有文化的人赚了更多的钱，就得出结论说文化程度高对提高经济收入并没有帮助。又比如，你不能因为看到一个无臂人用脚画画很好，就得出结论说要学好画画就要砍掉双手一样。可是现实中却有持这种逻辑的人。
1701030137
1701030138
另一种常见的错误是人们常常忽略了随机事件的独立性，错误地把它们关联起来。比如掷硬币，每一次投掷出现正面或反面的概率都是0.5。也就是说，以前曾经出现过什么样的历史，对于下一次投掷的结果是没有影响的。考虑你现在参加投掷硬币的赌博游戏，每投掷一次赌注1元。已经投了9次结果都很“偶然”地出现了正面，现在面临第10次投掷，你应该选择押注正面还是反面？有不少人是这样想的，既然已经出现了9次正面，均匀的硬币要连续出现10次正面的概率太小了（这个概率为0.510=0.097 7%），因此下一次出现反面的概率应该很大。这样的决策，忽略了下一次投掷概率与历史无关的事实。只要硬币是均匀的，不管前9次结果如何，下一次正面和反面出现的概率均为0.5，所以你押注哪一面，胜负概率都一样。当然，这里还有另一种可能，那就是硬币不是均匀的，所以前面9次出现正面并不那么“偶然”，如此第10次还很有可能出现正面──你现在应该选择的就是正面，而不是像先前所思考的那样选择反面。