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不过,这份报告披露了我国男性吸烟率为66%,女性吸烟率为3.1%;而男性肺癌发病率为0.355%,女性为0.312%。而一个社会男女性别比基本上为1:1,则按照我们前面的假设,100个肺癌患者中,大约有100[0.355/(0.355+0.312)]=53人为男性,有100-53=47人为女性。社会中男女基本上相等意味着这个社会分别有30 030(0.5)=15 015个男性和女性。两个人口总量相等、烟民结构完全不同(一个有过半烟民,一个只有少数烟民)的群体,肺癌发病率和发病人数竟然如此接近,这能说明吸烟是肺癌的发病罪魁吗?
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我应当承认,在上述两段推理中,在某些地方我用世界数据来代替中国数据(因为找不到中国数据),可能存在偏差。不过我的本意不在为吸烟致癌翻案,所以问题不算严重。我只是想借此说明,在对公众发布信息的时候,应尽量提供背景信息,以免误导公众;更不能有意隐瞒关键信息,利用公众缺乏概率推断能力而有意误导公众。同时也说明,如果读者能多掌握一点概率推断的知识,就会更少地受到媒体的欺骗。
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[1]在美国俚语中,鸡崽(chicken)被用于表示胆怯者、懦夫,而笨驴(donkey)则表示蠢人。
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[2]事实上,来自心理学和行为经济学的研究已表明,对于同等价值的物品,人们失去它而损失掉的效用会超过拥有它而获得的效用,前者基本上是后者的两倍。即失去的比得到的更觉珍贵,失去100元带来的痛苦将是得到100元带来的快乐的两倍。
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[3]当然,读者是女孩也可以。我没有任何歧视女孩的意思,模型中的男女性别假设完全可以互换。
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[4]本例的Mathematica文件或Excel计算表可在作者主页www.cnobel.com下载,文件名分别为Table2.2.nb和Table2.2.xls。
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[5]当然还可以对例子进一步一般化,假设有X>1个女孩。那么,从第n个女孩开始认真考虑,则获得最好女孩的概率为:
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上式有一个近似计算方法:当X比较大的时候,,此函数为凹,求n的一阶条件得到最优解n*=1+X/e,代入Prob(n),有Prob(n*这个解表明,不管女孩数量是多少,只要数量足够多,获得最好女孩的最大概率都近似为0.368。与我们精确计算略有差异。
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[6]但是参加比赛毕竟与选择女朋友不同。评委的心理往往导致两类偏差会影响公正评价。一类是记忆偏差,另一类是直接比较偏差。这两种偏差导致首先登场的选手比第二、第三登场的选手会得到更高的评价,但是出场顺序更后的选手,也有很大的优势获得更高的评价。Lionel Page和Katie Page的论文”Biases in sequential performance evaluation, a field study on the idol series”利用8个国家的大众偶像评选活动(如“美国偶像”之类的活动)的数据,表明了这样的结果。当你准备面晤或接到工作面试通知,并且询问你愿意安排在什么时间时,你应该选择安排在什么位置呢?两位Page的研究表明:你应尽量安排在最后。
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[7]可参阅Paul Hoffman, The Man Loved Only Numbers(New York:Hyperion,1998)第233~240页,本书讲到了几个概率论专家,包括才华横溢、著作等身的数学家保罗·厄多斯(Paul Erdös),他们算错了一个很简单的概率题,跟他们解释后竟然还不知道自己的错误。
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[8]以概率而论,任何1枚硬币要连续30次正面向上的概率(0.530)接近0,但是如果有100万枚硬币参加投掷,则30轮后至少有1枚硬币连续30次正面向上的概率约为9.3%(再考虑有2枚、3枚……等情况,则概率超过9.3%);如果是1 000万枚硬币,则约为92.7%(几乎是肯定的了)。
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无知的博弈:有限信息下的生存智慧 面对不确定性的制胜策略
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有些游戏,虽然参加者不止一个人,存在好几个利益冲突的博弈方。但是,博弈的结果很大程度上将依赖于“运气”而不是互动策略的考量,此时的博弈问题,实际上仍可看做不确定性环境的单人概率决策问题。参与人的出招关键是找出最有可能制胜的策略。
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俄罗斯轮盘:谁都没有优势
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俄罗斯轮盘(Russian roulette)是一个非常残酷的赌博游戏。经典的俄罗斯轮盘赌游戏如同电影《猎鹿者》(The Deer Hunter,1978)中所描述的虐待战俘的方法:在一支可装六发子弹的左轮手枪里,只放一颗子弹,随机地一转后,要求两名战俘轮流用手枪对准自己的头部发射,直到一名战俘中枪,另一名战俘才逃过一劫。
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这种残酷游戏据说最早可以追溯到克里米亚半岛,不过真正流行还是在第一次世界大战期间。当时,白天打了败仗的沙俄军官和士兵到了夜里便借酒浇愁,于是“俄罗斯轮盘赌”便成了最好的“助兴”节目。虽然屡屡有人惨死在枪下,但是这种惊险刺激的游戏却在俄罗斯越来越流行,甚至赢得了“俄罗斯轮盘赌”的“美名”。
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不过,我在这里要问的问题是:这样的游戏对于先发者或者后发者是否会更有利或更不利呢?我曾把这个问题贴在人大经济论坛(www.pinggu.org/bbs),既有网友认为先发者更有利,也有网友认为后发者更有利。
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而实际上,这是一个纯粹凭运气的博弈。子弹装上再一转之后,子弹的位置就已经固定下来,因而究竟是先发者死亡还是后发者死亡也就确定下来。如果子弹正好在1、3、5的位置,则先发者将死亡;如果子弹在2、4、6的位置,则后发者死亡。而子弹进入1、3、5以及进入2、4、6的概率各为1/2。因此,先发者和后发者的死亡概率均为1/2,并不存在先发优势或后发优势。[1]
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当然,可能确有始终被运气眷顾的人,比如英国作家格雷厄姆·格林。他曾对俄罗斯轮盘赌乐此不疲,认为这是一剂解乏的“良药”。年轻时他曾对未婚妻这样写道:“以这样的方式自杀实在太刺激了。”后来他承认当自己在大学念书的时候,夜深人静时常在宿舍里玩这种游戏。令人惊奇的是,他自己如履薄冰地幸运活了下来,而他的同伴中却屡屡有人死于非命。
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回头再讨论一下人们对俄罗斯轮盘中的概率的看法。不少网友竟然认为这当中存在先发优势或后发优势──这让我想到生活中的抓阄。比如,有一份不可分割的物品,需要分配给5个人,为保证公平采用抓阄的方式确定谁将得到这份物品。五个信封中只有一个信封内的纸片上写着获得该物品。不少人以为先抓阄和后抓阄可能面临不同的机会。但是,真的是这样吗?
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一个博弈论专家的教训
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