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A刚开始博弈时面临的选择不外乎三种:对空发射、对C发射、对B发射。对此三种情况逐一分析。如果A射B,若射杀B,就等于签了死亡协议(因为接下来就是C射A);若没能射杀B,则与对空放枪没两样,接下来B会先攻击C(因为C比A对B更危险),A就赚得一轮机会。结论是:对B发射的策略,严格劣于对空发射的策略。再看A射C的情况,若射杀C,则接下来该B射A,因此A存活概率不会超过1-PB;若未能射杀C,则接下来B射C,无论B是否得手,A存活的概率都不低于PA(请读者想想为什么)──而未射杀C与对空发射并无两样。显然,只要PA≥1-PB,则射杀B也严格劣于对空发射。最终的结论是,若PA≥1-PB,则A的最佳射击策略是:B、C都存在时就始终对空发射,若B、C仅剩一人则对幸存者发射。当然,不能排除有这样的情况,PA<1-PB,此时A选择射C还是对空发射,就需要更细致的分析才可以讨论。[2]
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容易发现,当B稍强时,A最好先放手,让B对付C,然后再与B和C的幸存者拼命;若B也较弱,那么A应当先协助B对付C,以谋求更大的生存机会。
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这个例子也刻画了现实生活中弱者的生存之道。在一强两弱的三方对决中,如果次强者相对较强,那么弱者最好是退一步,让次强者与强者争锋,然后再与其中的胜者拚命;如果次强者能力与弱者也相差无几,那么弱者应与次强者联合对付强者,然后再与次强者拚命。历史上的三国,就是这样一种情形。[3]其对于现实生活的启示,还可参见《身边的博弈》的第1章。
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在一强两弱的三方对决中,如果次强者相对较强,那么弱者最好是退一步,让次强者与强者争锋,然后再与其中的胜者拚命;如果次强者能力与弱者也相差无几,那么弱者应与次强者联合对付强者,然后再与次强者拚命。
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[1]对俄罗斯轮盘赌问题还有不少推广,可参见D.Sandell, Fair Russian Roulette,The Mathematical Scientist 22,1997,52-57。
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[2]分别考虑A的如下三种策略:
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(1)对空发射。若A对空发射,则A获胜的可能的后续情况如下:①B射中C,A射中B;②B射中C,“A未射中B,B未射中A”循环n次(n≥1),然后A射中B;③B未射中C,C射中B,A射中C。令表示采取对空发射的策略,那么A获胜(存活)的概率为
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(2)A射向C。此时,若A未射中C,则事态将如同策略(1)的发展;若A射中C,则事态发展为:B未射中A,“A未射中B,B未射中A”循环n次(n≥0),然后A射中B。令表示采取策略射向C,则A获胜的概率为
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(3)A射向B。此策略有两种可能性,其一是A射中B,则A随即将被C射杀;其二为A未射中B,则此时状态发展同策略(1)是一样的。从而A获胜的概率为。显然,因为1-PA<1,因此始终有,说明策略(3)始终劣与策略(1),因此A始终不会选先射杀B的策略。策略(2)和策略(1)相比较,谁的存活概率大则A就选谁:
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故,当且仅当。
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因为1-PA<1,经过解PB>(1-PB)2可得到无论PB为何值,当时,A采取策略(2)比较好。而据假设有1-PA>1-PB,经过解PB<(1-PB)2可得到PB<0.318时,A选择策略(2)比较好。
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[3]三方对决问题还可做不同的假设,可参考M.J.Gardner,“Strategy for life:a guide to decision making,“Mathematical Spectrum 5,1972/73,54-58。
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无知的博弈:有限信息下的生存智慧 应对风险的策略
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前面这些例子说明,如何可以通过选择不同的策略来提高竞争中获胜的概率。这些策略选择并不会影响不确定性本身所导致的风险──不能降低风险,也没有考虑如何规避风险。在现实生活中,我们其实还有很多措施可以降低风险、规避风险或者操纵风险获利。下面就是这样的例子。
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风险混合:鸡蛋不要放在一个篮子里
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