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彩票与预期价值
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在博弈论中，混合策略、贝叶斯博弈、不完美信息扩展式博弈等都会涉及计算预期赢利。预期赢利的计算可以通过彩票的预期价值来理解。假如一张彩票有n种结果，任意第i种结果出现的概率为xi，其对应的赢利记为pi，那么，该彩票的预期价值为
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比如，一张彩票有1/10的概率令你获得100元，有2/10的概率令你获得50元，有7/10的概率令你一无所获。那么这张彩票的预期价值就是：100（1/10）+50（2/10）+0（7/10）=20元。当然，读者应明白，这不等于说该彩票会给你带来20元收入，不是的。它只表示如果你可以重复抽取这样的彩票，那么你每次得到的收入平均下来大致就是20元──实际上你每次得到的是100元、50元或者0元这三种结果中的一种。
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条件概率和贝叶斯法则
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在博弈过程中，行动常常会传递信息。一旦参与人获得新的信息，就需要对原来的信念进行修正。在分析中，这主要会用到条件概率和贝叶斯法则。
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假设有A和B两随机事件。A单独发生的概率记为Pr（A），AB一起发生的概率记为Pr（AB）。那么在A发生的条件下，B发生的概率可写为：
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这就是条件概率公式。即A发生的条件下B发生的概率，实际上就是AB同时发生的概率与A发生的概率的比值。
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如果A、B是独立事件，那么就有：
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同理也有：
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即独立事件的条件概率，就等于独立事件自身单独发生的概率。
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为了计算Pr（B|A），在前面的计算公式中需要知道Pr（AB）和Pr（A）。但是很多时候我们得到的数据也许只是Pr（B），以及Pr（A|B）和Pr（A|not B）。比如，一个人患上疾病B的概率为Pr（B），而患上疾病B的人会被检查携带A病毒的概率为Pr（A|B），未患疾病B的人被检查出携带A病毒的概率为Pr（A|not B）。此时，若检查出某人携带病毒A，那么他患上疾病B的概率是多少？此问题可按照如下方式计算：
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这个公式就是贝叶斯公式（或称贝叶斯法则、贝叶斯定理）。本书第2章提到的逆概率推断，就是贝叶斯公式的应用，可参阅。
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有时候，随机事件B有多种状态，每种状态记为Bi，i=1，……，n。那么在观察到结果A时，任意一种状态BK发生的概率将是：
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上述公式，实际上只是将前文的贝叶斯公式扩展到了随机事件B具有n种状态的情况。这其中，A实际上就是独立事件B的信号，其中Pr（A|Bi）可以在[0，1]中取值，具体取什么值，就看Bi能不能产生或者以多大的概率产生信号A了。
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