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1701032553 假设参与人1采取行为策略(p,q),从而在信息集I2参与人2将信念修正为前面(*)式的情况,于是可计算2选择埋牌或开牌的预期收益:
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1701032558 容易得到:
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1701032560 ·当p>3q,E(埋牌)>E(开牌),2选择埋牌。
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1701032562 ·当p<3q,E(埋牌)<E(开牌),2选择开牌。
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1701032564 ·当p=3q,E(埋牌)=E(开牌),2随机选择埋牌和开牌,不妨假设埋牌的概率为x,开牌的概率为1-x。
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1701032566 现在,已经获得了2在各种信念条件下的最优反应,再回头讨论各种条件下1的最优反应以及与2的信念一致性。
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1701032568 ·当p>3q,2选择埋牌;给定2埋牌,则拿大牌的参与人1可随机选择摊牌或加注(因此p∈[0,1]),拿小牌的参与人1最好选择加注(因此q=1)。但是,当,p∈[0,1],q=1不可能有p>3q,信念产生冲突。此种条件不存在均衡。
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1701032570 ·当p<3q,2选择开牌;给定2开牌,则拿大牌的参与人1最好始终选择加注(因此p=1);拿小牌的参与人1最好选择摊牌(因此p=0)。但是,当p=1,q=0时,p<3q得不到满足,信念冲突,均衡不成立。
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1701032572 ·当p=3q,2以概率(x,1-x)随机选择埋牌和开牌;给定2的策略,拿大牌的参与人1应始终选择加注(因为1<1x+2(1-x)),即p=1;给定p=1,根据前提条件p=3q有q=1/3,即拿小牌的参与人1可以(1/3,2/3)概率选择加注和摊牌,这在信念上是一致的。而为了使拿小牌的参与人1这个行动是最优的,则需要2对于x的选择使拿小牌的参与人1在加注和摊牌之间的选择无差异,即:x(1)+(-2)(1-x)=-1,解出x=1/3。因此,此种情况下策略和信念都可达到均衡。我们可以说,图A-7翻牌博弈均衡是:1若拿大牌则始终加注,若拿小牌则以1/3的概率加注;2若观察到1加注,则以1/3的概率埋牌,以2/3的概率翻牌。
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1701032574 当然,对于均衡的求解也可以通过另外的方法进行。比如,我们既然定义出了1和2的策略,那么也就可以将博弈转化成策略式,图A-7博弈的策略式表达如图A-8。
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1701032576 可以发现,图A-8中没有纯策略均衡,但是存在混合策略均衡:参与人1以2/3的概率选择策略(加注,摊牌),以1/3的概率选择策略(加注,加注);参与人2以1/3的概率选择埋牌,以2/3的概率选择开牌。这个混合策略结果与我们前面计算出来的行为策略结果是一样的。
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1701032581 图A-8
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1701032583 但是,需要指出,将一个不完美信息动态博弈转换成策略式后求得的均衡并不总是与我们的例子这样完全一致。更具体地说,根据策略式求出的均衡结果只考虑了策略的均衡,并没有考虑信念一致性,因此它可能会保留一些不太合理的纳什均衡,而这些均衡一旦加入一致性考量的时候就不再成立。那么,有读者就会问,既然如此为什么还要把它转换成策略式来求解呢?我个人的看法是,这个转换有时对我们是有帮助的(当然有时候并没有什么帮助)。首先可以肯定的是,凡是序贯均衡,则必定出现在策略式博弈的均衡中;当然反过来不成立,策略式博弈中的均衡不一定满足序贯均衡条件。但是,明白这一点,我们在遭遇比较复杂的不完美信息博弈的时候,就可以先通过其策略式将绝大多数非均衡的策略组合筛选出去,然后再集中精力考察剩下的纳什均衡中哪些满足序贯均衡条件,则工作就轻松得多。比如图A-7的博弈,我们通过定义行为策略然后一一推导,过程还是比较麻烦的。若我们将其转化成图A-8,则可轻松找到一个唯一的混合策略均衡,然后只需检验这个均衡策略组合是否满足序贯均衡条件就可以了(事实上它是满足的)──其实,在这种情况下你甚至可以不检验,因为在这样的有限博弈中序贯均衡一定存在,而且它一定也是纳什均衡,现在你只得到一个纳什均衡,自然它也应是序贯均衡了。
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1701032585 海萨尼转换
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1701032587 前面讲过的不完全信息动态博弈,也可以将其转化成不完美信息动态博弈来研究。这被称为海萨尼转换。
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1701032589 比如,图A-1的不完全信息静态博弈,可以转化成如下的不完美信息动态博弈(见图A-9)。
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1701032594 图A-9
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1701032596 在求解这个博弈的时候,大家要牢记,丈夫只有一个信息集,他为这个信息配置一个行动就是他的(纯)策略;妻子有两个信息集,她的(纯)策略是为每一个信息集配置一个行动。
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1701032598 至于解的过程,就留给大家吧。读者还可以尝试画一下图A-5的博弈树──这对于初学者具有一定的挑战性,画的时候可多考虑一下双方各自有几个信息集?哪些历史应归入一个信息集中去?
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1701032600 图A-10是这个问题的答案,看看你画的与答案有什么不同(存在一些不同是允许的,因为该博弈的扩展式等价博弈并不唯一。譬如,这里是假定上帝先选择丈夫的类型,再选择妻子的类型,读者完全可以假定上帝先选择妻子的类型再选择丈夫的类型;或者假设妻子先于丈夫行动而不是像这里假定丈夫先于妻子行动;这些假定的调整并不会改变博弈及其结果,但博弈树画出来会存在一些差异)。
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