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爱的信号传递
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不完美信息扩展式博弈的一个很典型的应用是信号传递博弈（signaling game）。本书有相当一部分内容都是在讲信号传递。
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现在，我构造一个求爱的博弈来讲解信号传递的理论思想。一是让读者了解博弈建模的一些技巧；二是我估计读者中也有单身的朋友，你们会发现博弈论对你寻找一份可靠的爱情大概会有所帮助。
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假设一个女孩很有钱，所以追求她的人不少。追她的男孩有两种类型：一种类型是贪图女孩的钱财，另一种类型是真心爱这个女孩。对于女孩来说，她希望与真心爱她的男孩结为伴侣，否则宁愿独身。问题是，男孩知道自己的真实类型，女孩却不知道男孩的类型。因此，女孩设置了考验程序。考验程序需要男孩付出成本，为简化分析，不妨假设女孩的考验就是要男孩捐出一笔金额为c的钱给慈善机构。
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为简化分析，我们假设对于真心爱女孩的男孩，女孩对他的价值为；
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对于不真心爱女孩的男孩，女孩对他的价值为，，表明真心爱女孩的男孩更看重女孩本身。女孩的财富设为w，对于任何类型的男孩，女孩的财富给他带来的价值也都是w。然后，假设女孩得到真心爱自己的男孩获得正的收益，规范化为1，若是嫁给不真心爱自己的男孩也会得到一个收益，该收益规范化为0。
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假设男孩的类型是由上帝来选择的。上帝以x的概率选择男孩为真爱型，以1-x的概率选择男孩为伪装型。我们可构造出如下博弈（图A-11）。
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图A-11
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假设，女孩在嫁与不嫁的赢利相等的时候就选择不嫁（这样我们便把一些并无多大意义的问题排除在研究之外）。
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信号传递博弈可以有分离均衡、混同均衡、半分离均衡、杂合均衡。分离均衡中，所有行动传递的信息是完全的；混同均衡中，所有行动都没能传递信号；半分离均衡中，某些行动传递的信息是完全的，某些行动传递的信息是不完全的；杂合均衡中，所有行动都只传递了部分信息。具体到我们的例子，对其中部分均衡可分析如下。
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1.分离均衡
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一种可能的分离均衡是真爱的男孩捐款，而伪装的男孩不捐款，即策略（捐款，不捐）。给定男孩采取这个策略，则女孩可推断Pr（真爱|I21）=1，Pr（真爱|I22）=0。在女孩的信息集I21，女孩必定知道历史是（真爱，捐款），其最优反应是选择嫁；若女孩在信息I22，则必知历史是（伪装，不捐），因此女孩选择不嫁。所以，女孩的最优策略是（嫁，不嫁）──如果对方捐款就嫁，不捐款就不嫁。给定女孩的策略，真爱的男孩选择捐款的条件是：；而伪装的男孩选择不捐款的条件是。根据这两个条件可解出使（捐款，不捐）成为男孩最优反应策略的条件是：。于是我们可以表述：当要求男孩的捐款额为时，博弈有分离均衡，c会成为传递完全信息的信号，真爱的男孩会选择捐款，而伪装的男孩会拒绝捐款；然后女孩观察到男孩捐款就嫁给男孩，否则就拒绝嫁给男孩。真爱男孩的信号之所以成功，是因为伪装男孩要模仿这个信号反而会得不偿失（v+w-c＜0）。
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另一种可能的分离均衡是真爱的男孩选择不捐款，而伪装的男孩选择捐款。此时Pr（真爱|I21）=0，Pr（真爱|I22）=1，女孩的最优策略反应是（不嫁，嫁）──如果对方捐款就不嫁，不捐款就嫁。给定女孩的策略，真爱男孩选择不捐款的条件是；而伪装男孩选择捐款的条件是，但是c，，w＞0，此条件永不能满足。因此，真爱的男孩选择不捐款、而伪装的男孩选择捐款的分离均衡不可能存在。
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2.混同均衡
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一种可能的混同均衡是：真爱男孩和伪装男孩都选择捐款。此时，女孩得不到任何可以更新信念的信息，因此当x＞0时接受男孩（根据假设x=0将拒绝男孩）。假设x＞0，这里女孩的信息集I22没有达到，但对其策略仍需规定。倘若女孩决定在I22选择不嫁，则男孩选择（捐款，捐款）策略的条件是：，即只要，则男孩（捐款，捐款）和女孩（嫁，不嫁）构成混同均衡；若女孩在I22选择嫁，则捐款始终是劣策略，因此男孩（捐款，捐款）和女孩（嫁，嫁）不能构成混同均衡。当x=0，女孩始终不嫁，因此也不可能与（捐款，捐款）构成混同策略。于是我们可以表述：当要求男孩的捐款额为c＜v+w时，c没有任何信号作用，当男孩属真爱型概率x＞0时，一个混同均衡是所有类型男孩都选择捐款，而女孩观察到捐款就嫁，未观察到捐款就不嫁。
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另外一种可能的混同均衡是所有类型男孩都选择不捐款。那么在I22的信息集上，若x＞0，女孩还是选择嫁；I21信息集达不到，但读者明显可发现，无论在这个信息集女孩嫁或不嫁，男孩都不应选择捐款。因此，可以说：所有男孩选择不捐款，而女孩选择（*，嫁）也会是一个混同均衡。“*”符号表示“嫁”或“不嫁”。
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3.半分离均衡
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