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对于不真心爱女孩的男孩,女孩对他的价值为,,表明真心爱女孩的男孩更看重女孩本身。女孩的财富设为w,对于任何类型的男孩,女孩的财富给他带来的价值也都是w。然后,假设女孩得到真心爱自己的男孩获得正的收益,规范化为1,若是嫁给不真心爱自己的男孩也会得到一个收益,该收益规范化为0。
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假设男孩的类型是由上帝来选择的。上帝以x的概率选择男孩为真爱型,以1-x的概率选择男孩为伪装型。我们可构造出如下博弈(图A-11)。
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图A-11
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假设,女孩在嫁与不嫁的赢利相等的时候就选择不嫁(这样我们便把一些并无多大意义的问题排除在研究之外)。
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信号传递博弈可以有分离均衡、混同均衡、半分离均衡、杂合均衡。分离均衡中,所有行动传递的信息是完全的;混同均衡中,所有行动都没能传递信号;半分离均衡中,某些行动传递的信息是完全的,某些行动传递的信息是不完全的;杂合均衡中,所有行动都只传递了部分信息。具体到我们的例子,对其中部分均衡可分析如下。
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1.分离均衡
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一种可能的分离均衡是真爱的男孩捐款,而伪装的男孩不捐款,即策略(捐款,不捐)。给定男孩采取这个策略,则女孩可推断Pr(真爱|I21)=1,Pr(真爱|I22)=0。在女孩的信息集I21,女孩必定知道历史是(真爱,捐款),其最优反应是选择嫁;若女孩在信息I22,则必知历史是(伪装,不捐),因此女孩选择不嫁。所以,女孩的最优策略是(嫁,不嫁)──如果对方捐款就嫁,不捐款就不嫁。给定女孩的策略,真爱的男孩选择捐款的条件是:;而伪装的男孩选择不捐款的条件是。根据这两个条件可解出使(捐款,不捐)成为男孩最优反应策略的条件是:。于是我们可以表述:当要求男孩的捐款额为时,博弈有分离均衡,c会成为传递完全信息的信号,真爱的男孩会选择捐款,而伪装的男孩会拒绝捐款;然后女孩观察到男孩捐款就嫁给男孩,否则就拒绝嫁给男孩。真爱男孩的信号之所以成功,是因为伪装男孩要模仿这个信号反而会得不偿失(v+w-c<0)。
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另一种可能的分离均衡是真爱的男孩选择不捐款,而伪装的男孩选择捐款。此时Pr(真爱|I21)=0,Pr(真爱|I22)=1,女孩的最优策略反应是(不嫁,嫁)──如果对方捐款就不嫁,不捐款就嫁。给定女孩的策略,真爱男孩选择不捐款的条件是;而伪装男孩选择捐款的条件是,但是c,,w>0,此条件永不能满足。因此,真爱的男孩选择不捐款、而伪装的男孩选择捐款的分离均衡不可能存在。
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2.混同均衡
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一种可能的混同均衡是:真爱男孩和伪装男孩都选择捐款。此时,女孩得不到任何可以更新信念的信息,因此当x>0时接受男孩(根据假设x=0将拒绝男孩)。假设x>0,这里女孩的信息集I22没有达到,但对其策略仍需规定。倘若女孩决定在I22选择不嫁,则男孩选择(捐款,捐款)策略的条件是:,即只要,则男孩(捐款,捐款)和女孩(嫁,不嫁)构成混同均衡;若女孩在I22选择嫁,则捐款始终是劣策略,因此男孩(捐款,捐款)和女孩(嫁,嫁)不能构成混同均衡。当x=0,女孩始终不嫁,因此也不可能与(捐款,捐款)构成混同策略。于是我们可以表述:当要求男孩的捐款额为c<v+w时,c没有任何信号作用,当男孩属真爱型概率x>0时,一个混同均衡是所有类型男孩都选择捐款,而女孩观察到捐款就嫁,未观察到捐款就不嫁。
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另外一种可能的混同均衡是所有类型男孩都选择不捐款。那么在I22的信息集上,若x>0,女孩还是选择嫁;I21信息集达不到,但读者明显可发现,无论在这个信息集女孩嫁或不嫁,男孩都不应选择捐款。因此,可以说:所有男孩选择不捐款,而女孩选择(*,嫁)也会是一个混同均衡。“*”符号表示“嫁”或“不嫁”。
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3.半分离均衡
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一个可能的半分离均衡是:真爱男孩始终选择捐款,伪装男孩部分选择捐款(假设捐款概率为y)。那么女孩的信念将更新,,Pr(真爱|I22)=0。那么在信息集I22女孩选择不嫁,在信息集I21女孩将选择嫁(读者可自己计算一下预期盈利,只要,女孩就会嫁)。给定女孩的策略,男孩的策略要得到维持就必须满足:,真爱男孩始终选择捐款,伪装男孩随机选择捐款,而女孩观察到捐款就接受男孩,观察到未捐款就不嫁,这会是一个半分离均衡。c提供了部分信号。
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另外还有一种可能的半分离均衡:真爱男孩部分选择捐款,部分选择不捐款,而伪装男孩全选择不捐款。这种分离均衡是否存在?就留给读者自己去求解答案吧。
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除了这些均衡之外,信号传递博弈还可能存在杂合均衡。比如真爱男孩以一定概率选择捐款或不捐款,伪装男孩也是以一定概率选择捐款和不捐款。读者可自行检验本博弈中是否存在杂合均衡。
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另外,不同的均衡效率是不一样的。就这个博弈来说,女孩可控制c,因而可掌握主动,那么她会偏好制定合理的c,达到分离均衡。
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最后我想说明的是,如果信息是完全的,则女孩可直接选择真爱男孩,真爱男孩也不必捐款。对于真爱男孩,完全信息博弈下的结果比不完全信息下的分离均衡更有效率。这反映了一个非常重要的现实问题:在信息不完全的时候,为了促进有效率的交易,常常需要为信息不完全付出代价。
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关于图A-11博弈的均衡分析,也可尝试从其等价的策略式来进行。这时读者需要注意男孩有4个策略:(捐款,捐款)、(捐款,不捐款)、(不捐款,捐款)、(不捐款,不捐款);女孩也有4个策略:(嫁,嫁)、(嫁,不嫁)、(不嫁,嫁)、(不嫁,不嫁)。基于策略式的分析,容易发现有些策略组合根本不可能成为纳什均衡,因而也不可能成为(弱)序贯均衡,这样就缩小了我们分析的范围。这些工作,留待有兴趣的读者自己去完成。
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