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显然,通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的,因为“图形能不能一笔画成”和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系,要紧的是线段的数目和它们之间的连接关系,也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构.我们可以随意地将图形变形,如拉伸、压缩或弯曲等,甚至可将一些线段搬家(但保持端点不动),只要图形的整体结构不改变,“能不能一笔画出”这个性质是不会改变的.例如图1中的(a)和(b)都是“日”字的变形,都能一笔画出;(c),(d)和(e)都是“田”字的变形,都不能一笔画出.
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著名的七桥问题对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用,实质上它是一个一笔画问题.七桥问题是这样的:流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛,七座桥连结了两岸和小岛(图2左图).当地流传一个游戏:要求在一次散步中恰好通过每座桥一次.很长时间里没有人能做到.后来大数学家Euler研究了这个游戏.他用点代表陆地(两岸和岛),用连结各点的线代表桥,得到图2右图中的图形.于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了.Euler证明它是不能一笔画成的.
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图1
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图2
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正是七桥问题和其他类似性质的问题,使Euler和他那个时代的其他数学家开始认识到:存在着某种新的几何性质,它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同.这种认识是拓扑学产生的背景.
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地图着色问题
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给地图着色时,要把相邻的国家(或区域)着上不同的颜色,以便容易地加以区分.那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色?这个问题看起来简单,却出人意料地难以解决.图3中的地图虽只有四个区域,却是两两相邻的,因此它需用4种颜色着色.这个例子说明上述问题的答案应不小于4.数学家明确提出这个问题不很久,证明了有5种颜色是够用的.于是问题集中到“4种颜色够不够?”上,就出现了著名的“四色问题”.它从1852年由F. Guthrie提出后,直到本世纪七十年代才借助计算机得到肯定性的解答.
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图3
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地图着色问题同一笔画问题一样,也具有“拓扑”特性:它与度量(区域的面积、边界线的长度等)和形状都没有关系,关键是区域的个数和它们的邻接关系;地图经过变形(缩放或作各种投影)所需颜色数不变.
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Euler多面体定理
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这是立体几何中的一个有名的定理:凸多面体的面数f,棱数l和顶点数v满足Euler公式
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f-l+v=2.
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表面上看,似乎它和一笔画、地图着色问题不一样,凸多面体是平直图形,不能随意变形.但只要对Euler多面体定理稍加推广,就可看出它的“拓扑”特性了.
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图4
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把多面体放进一个大球体内,使球心在多面体内部.于是,从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线(实际上是大圆弧),顶点映成球面上的点.这些点和大圆弧构成球面上的一个图(网络)(图4),它把球面分割成f块,有l条枝(大圆弧)和v个节点.
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一般地,球面上的图是由球面上有限个点(称为节点)和有限条曲线(称为枝)所构成的图形,它必须满足:
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(1)每条枝的端点是两个不同节点;
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(2)不同的枝不交叉,即不相交于内点;
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(3)每条枝不自交.
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