1701040360
1701040361
显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为“图形能不能一笔画成”和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构．我们可以随意地将图形变形，如拉伸、压缩或弯曲等，甚至可将一些线段搬家（但保持端点不动），只要图形的整体结构不改变，“能不能一笔画出”这个性质是不会改变的．例如图1中的（a）和（b）都是“日”字的变形，都能一笔画出；（c），（d）和（e）都是“田”字的变形，都不能一笔画出．
1701040362
1701040363
著名的七桥问题对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛（图2左图）．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到．后来大数学家Euler研究了这个游戏．他用点代表陆地（两岸和岛），用连结各点的线代表桥，得到图2右图中的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．Euler证明它是不能一笔画成的．
1701040364
1701040365
1701040366
1701040367
1701040368
图1
1701040369
1701040370
1701040371
1701040372
1701040373
图2
1701040374
1701040375
正是七桥问题和其他类似性质的问题，使Euler和他那个时代的其他数学家开始认识到：存在着某种新的几何性质，它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同．这种认识是拓扑学产生的背景．
1701040376
1701040377
地图着色问题
1701040378
1701040379
给地图着色时，要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易地加以区分．那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？这个问题看起来简单，却出人意料地难以解决．图3中的地图虽只有四个区域，却是两两相邻的，因此它需用4种颜色着色．这个例子说明上述问题的答案应不小于4．数学家明确提出这个问题不很久，证明了有5种颜色是够用的．于是问题集中到“4种颜色够不够？”上，就出现了著名的“四色问题”．它从1852年由F. Guthrie提出后，直到本世纪七十年代才借助计算机得到肯定性的解答．
1701040380
1701040381
1701040382
1701040383
1701040384
图3
1701040385
1701040386
地图着色问题同一笔画问题一样，也具有“拓扑”特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和它们的邻接关系；地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变．
1701040387
1701040388
Euler多面体定理
1701040389
1701040390
这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数f，棱数l和顶点数v满足Euler公式
1701040391
1701040392
f－l＋v＝2．
1701040393
1701040394
表面上看，似乎它和一笔画、地图着色问题不一样，凸多面体是平直图形，不能随意变形．但只要对Euler多面体定理稍加推广，就可看出它的“拓扑”特性了．
1701040395
1701040396
1701040397
1701040398
1701040399
图4
1701040400
1701040401
把多面体放进一个大球体内，使球心在多面体内部．于是，从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），顶点映成球面上的点．这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络）（图4），它把球面分割成f块，有l条枝（大圆弧）和v个节点．
1701040402
1701040403
一般地，球面上的图是由球面上有限个点（称为节点）和有限条曲线（称为枝）所构成的图形，它必须满足：
1701040404
1701040405
（1）每条枝的端点是两个不同节点；
1701040406
1701040407
（2）不同的枝不交叉，即不相交于内点；
1701040408
1701040409
（3）每条枝不自交．