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正是七桥问题和其他类似性质的问题，使Euler和他那个时代的其他数学家开始认识到：存在着某种新的几何性质，它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同．这种认识是拓扑学产生的背景．
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地图着色问题
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给地图着色时，要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易地加以区分．那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？这个问题看起来简单，却出人意料地难以解决．图3中的地图虽只有四个区域，却是两两相邻的，因此它需用4种颜色着色．这个例子说明上述问题的答案应不小于4．数学家明确提出这个问题不很久，证明了有5种颜色是够用的．于是问题集中到“4种颜色够不够？”上，就出现了著名的“四色问题”．它从1852年由F. Guthrie提出后，直到本世纪七十年代才借助计算机得到肯定性的解答．
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图3
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地图着色问题同一笔画问题一样，也具有“拓扑”特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和它们的邻接关系；地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变．
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Euler多面体定理
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这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数f，棱数l和顶点数v满足Euler公式
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f－l＋v＝2．
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表面上看，似乎它和一笔画、地图着色问题不一样，凸多面体是平直图形，不能随意变形．但只要对Euler多面体定理稍加推广，就可看出它的“拓扑”特性了．
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图4
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把多面体放进一个大球体内，使球心在多面体内部．于是，从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），顶点映成球面上的点．这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络）（图4），它把球面分割成f块，有l条枝（大圆弧）和v个节点．
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一般地，球面上的图是由球面上有限个点（称为节点）和有限条曲线（称为枝）所构成的图形，它必须满足：
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（1）每条枝的端点是两个不同节点；
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（2）不同的枝不交叉，即不相交于内点；
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（3）每条枝不自交．
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Euler定理可以推广为
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定理1 球面上一个连通的图的节点数v，枝数l以及它分割球面所成的面块数f满足公式
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f－l＋v＝2．
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这种推广了的Euler定理具有拓扑特性：一方面，当图在球面上变形时，f，l和v这3个数不会变化；另一方面，当球面本身变形时（其上图也随着变形）f，l和v也不会变化．球面可以变形为椭球面、葫芦形或其他各种形状的曲面，对这些曲面定理l照样成立．但有的曲面不能由球面变形而得到，例如环面．事实上定理1对环面不适用，相应的定理为
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定理2 环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块（即没有洞的面块），则面块数f，图的枝数l和节点数v满足公式
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f－l＋v＝0．
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对于更复杂一些的曲面，f－l＋v是个负数．以上的事实说明整数f－l＋v与曲面上（适合条件的）图的选择无关，完全由曲面本身决定．这个数被称为曲面的Euler数，它反映出曲面的一种几何性质，当曲面被变形时，它是不会改变的．